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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 1.4 - Ex. 39

[[3,x_1,-,2,x_2,=,-,1],[4,x_1,+,5,x_2,=,3]]

Passo 1

O método do Exemplo 8 diz que se tivermos um par de equação do tipo

u = a x + b y

v = c x + d y

Podemos reescrever como

[[[u],[v]]] = [[[a,x,+,b,y],[c,x,+,d,y]]]

[[[u],[v]]] = underset(A)(underset(⏝)([[[a,b],[c,d]]])) [[[x],[y]]]

E agora vem a parte legal, porque podemos multiplicar pela inversa de A dos dois lados

[[[a,b],[c,d]]]^(- 1) [[[u],[v]]] = underset(I)(underset(⏝)([[[a,b],[c,d]]]^(- 1) [[[a,b],[c,d]]])) [[[x],[y]]]

Resolvendo a inversa e simplificando

(1)/(a d - b c) [[[d,-,b],[-,c,a]]] [[[u],[v]]] = [[[x],[y]]]

Agora é só aplicar no nosso exercício.

Passo 2

[[3,x_1,-,2,x_2,=,-,1],[4,x_1,+,5,x_2,=,3]] => [[[-,1],[3]]] = [[[3,-,2],[4,5]]] [[[x_1],[x_2]]] =>

=> [[[3,-,2],[4,5]]]^(- 1) [[[-,1],[3]]] = underset(I)(underset(⏝)([[[3,-,2],[4,5]]]^(- 1) [[[3,-,2],[4,5]]])) [[[x_1],[x_2]]] =>

=> [[[3,-,2],[4,5]]]^(- 1) [[[-,1],[3]]] = [[[x_1],[x_2]]] => [[[x_1],[x_2]]] = (1)/(15 - (- 8)) [[[5,2],[-,4,3]]] [[[-,1],[3]]] = [[[x_1],[x_2]]] =>

(1)/(23) [[[5,2],[-,4,3]]] [[[-,1],[3]]] = [[[x_1],[x_2]]] => {[[(1)/(23),(- 5 + 6),=,x_1],[(1)/(23),(4 + 9),=,x_2]]) => {[[x_1,=,(1)/(23)],[x_2,=,(13)/(23)]])

Resposta

x_1 = (1)/(23) e x_2 = (13)/(23)

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