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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 2- Ed: 6º - Capítulo 5.6 - Ex. 1

1. Resolva o sistema X^' (t) = A * X (t) , onde

A = ([[1,1],[0,2]])

E X (0) = (0,1) .

Passo 1

Bom... a primeira coisa que precisamos fazer é saber se a matriz dos coeficientes é diagonalizável.

Como det (A) != 0 , então A é diagonalizável.

Vamos então preparar o polinômio característico e achar as raízes...

det (A - lambda I) = (1 - lambda) (2 - lambda) = 0

lambda_1 = 1

lambda_2 = 2

Passo 2

Vamos achar os autovetores pela definição:

A b = lambda b

- Pra lambda = 1

([[1,1],[0,2]]) ([[x],[y]]) = 1 ([[x],[y]])

x + y = x

2 y = y

Então ficamos com o autovetor:

b = ([[x],[0]])

E o autoespaço:

P_1 = ([[1],[0]])

- Pra lambda = 2

([[1,1],[0,2]]) ([[x],[y]]) = 2 ([[x],[y]])

x + y = 2 x

2 y = 2 y

Então:

y = y

x = y

Então ficamos com o autovetor:

b = ([[y],[y]])

E o autoespaço:

P_2 = ([[1],[1]])

Passo 3

Assim, a matriz A é diagonalizável e, se:

P = ([[1,1],[0,1]])

Então:

P^(- 1) A P = ([[1,0],[0,2]])

Ora, de X (t) = c_1 e^(lambda_1 t) P_1 + c_2 e^(lambda_2 t) P_2 segue que:

{[[x_1 (t) = c_1 e^t + c_2 e^(2 t)],[x_2 (t) = c_2 e^(2 t)]])

A fim de que X (0) = (0,1)^t , deveremos ter:

{[[0 = c_1 + c_2],[1 = c_2]])

Cuja solução é:

c_2 = 1

c_1 = - 1

Então, a solução que satisfaz a condição inicial é:

[[x_1 (t) = - e^t + e^(2 t)],[x_2 (t) = e^(2 t)]]

X (t) = ([[-,e^t,+,e^(2 t)],[e^(2 t)]])

Resposta

X (t) = ([[-,e^t,+,e^(2 t)],[e^(2 t)]])

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