Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 71

A reta t : x - y + 2 = 0 tangencia uma elipse E de focos F 1 = ( 2,3 ) e F 2 = ( 3,1 ) . Determine o ponto de tangência T e os parâmetros geométricos de E .

Passo 1

Vamos chamar o ponto de tangência igual a T = ( h , k ) e inicialmente vamos encontrar a distância focal c encontrando a metade da distância entre esses dois focos, ou seja:

c = 1 2   3 - 2 2 + 1 - 3 2 = 5 2

Portanto o eixo maior e menor dessa elipse (com a sendo o eixo maior) serão relacionados por:

b 2 + 5 4 = a 2

Aplicando o ponto ( h , k ) (que serão os pontos de tangência) na equação da reta tangente nós temos:

h - k + 2 = 0 → h = k - 2

Enquanto outra relação para h e k nos diz que:

h 2 a 2 + k 2 b 2 = 1

Aplicando o valor de h e de a 2 na equação nós teremos:

( k - 2 ) 2 a 2 + k 2 a 2 - 5 4 = 1

Passo 2

E como os focos estão em uma reta e que não são o eixo x ou o y o melhor a se fazer aqui é aplicar a definição de elipse que nos diz que:

d T , F 1 + d T , F 2 = 2 a

Onde T é o ponto de tangência, logo:

h - 2 2 + k - 3 2 + h - 3 2 + k - 1 2 = 2 a

Como h = k - 2 , nós teremos:

k - 4 2 + k - 3 2 + k - 5 2 + k - 1 2 = 2 a

2 k 2 - 14 k + 25 + 2 k 2 - 12 k + 26 = 2 a

2 k 2 - 14 k + 25 = 2 a - 2 k 2 - 12 k + 26

Elevando os dois lados ao quadrado teremos:

2 k 2 - 14 k + 25 = 4 a 2 - 4 a 2 k 2 - 12 k + 26 + 2 k 2 + 12 k + 26

Arrumando em termos de a teremos:

4 a 2 - a 4 2 k 2 - 12 k + 26 + 1 + 26 k = 0

Fazendo o Δ dessa equação ser zero nós teremos:

Δ = 16 2 k 2 - 12 k + 26 - 16 1 + 26 k = 0

Δ = ( 2 k 2 - 38 k + 25 )

E as raízes serão em

k 1 = 0.682 e k 2 = 18.318 , e a principio não teremos nenhuma restrição nem com h nem com k .

Arbitrando então o valor de k como k 2 = 18.318 nós teremos um valor de a igual a:

a = 4 2 18.318 2 - 12 18.318 + 26 8 = 10.92

b = a 2 - 5 4 = 10.866

h = k - 2 = 8.92

Resposta

c = 5 2

h , k = ( 8.92,10.92 )

a - 10.92 ; b = 10.866

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para as funções dadas f e g defina f / g e determine o domínio da função resultante. f x = 1 x - 3 e g x = x x + 1
Determine se a função é par, ímpar ou nem par e nem ímpar. f x = 2 x 3 - 3 x
Para as funções dadas f e g defina f + g e determine o domínio da função resultante. f x = 1 x - 3 e g x = x x + 1
Para as funções dadas f e g defina f ⋅ g e determine o domínio da função resultante. f x = x 2 - 9 e g x = x + 5
Para as funções dadas f e g defina g / f e determine o domínio da função resultante. f x = 1 x - 3 e g x = x x + 1