Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 84
Sejam , um número do intervalo , , e .
Prove que, se , qualquer reta paralela a é secante a hipérbole
Supondo que , prove que existem duas retas tangentes paralelas a e calcule sua distância ao centro da hipérbole, em função de
Seja uma reta paralela a Supondo que , prove que é secante a se e que se
Passo 1
Pelos dados do enunciado , então se aplicarmos em:
Substituindo o que conhecemos e fazendo para encontrar a reta secante nós teremos:
Então:
Fazendo em ( e ) nós teremos:
Em qualquer outro no intervalo fica um tanto complicado de ver isso mas somente em um valor estará válido, já que é um valor limite.
Passo 2
Fazendo para encontrar as tangentes nós teremos:
E o valor de da distância entre o centro da hipérbole e o ponto é dada por , pois é a projeção do ponto nos eixos pelo vetor diretor, logo:
Passo 3
Fazendo nós teríamos:
E que já foi feito e que é a secante, logo:
E para que é a reta exterior a hipérbole: