Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.1 - Ex. 23
Seja uma matriz diagonalizável. Mostre que o traço de é igual à soma das raízes do seu
polinômio característico, incluindo as multiplicidades. (Sugestão: use o fato de que .)
Passo 1
Fala, galerinha! Tá tendo dificuldades com essa questão? Não precisa se preocupar, você vai ver que é mais simples do que parece. Bom, se é uma matriz diagonalizável, então podemos escrever , onde é uma matriz diagonal e os elementos da sua diagonal são os autovalores de , ou seja, as raízes do polinômio característico de . Assim,
mas . Logo,
Resposta
Veja a resolução acima.
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1. Em cada parte, encontre a equação característica da matriz simétrica dada e depois, por inspeção, determine as dimensões dos autoespaços(a) 1 2 2 4 (b) 1 - 4 2 - 4 1 - 2 2 - 2 - 2 (c) 1 1 1 1 1 1 1
Nos Exercícios 2–9, encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P . A = 3 1 1 3
1. Em cada parte, encontre a equação característica da matriz simétrica dada e depois, por inspeção, determine as dimensões dos autoespaços(a) 1 2 2 4 (b) 1 - 4 2 - 4 1 - 2 2 - 2 - 2 (c) 1 1 1 1 1 1 1
Nos Exercícios 2–9, encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P . A = 6 2 3 2 3 7
Esse problema conduziu uma prova do fato de que a multiplicacidade algébrica de um autovalor de uma matriz A de tamanho n × n é maior do que ou igual à multiplicidade geométrica. Para isso, suponha qu