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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.1 - Ex. 21

Se V   e W são autovetores associados a um autovalor λ , então W - p r o j V   W é também um autovetor associado a λ ? E se V   e W forem autovetores associados a autovalores diferentes?

Passo 1

Fala, galera! Ficou confuso com essa questão? Não se preocupe que a gente Responde Aí.

Lembra que

p r o j V   W = V ⋅ W | V | 2 V ?

Então, como A V = λ V e A W = λ W , e V ⋅ W | W | 2 é um número, então o operador A não atua sobre ele

A ( p r o j V   W ) = V ⋅ W | V | 2 ( A V ) = λ V ⋅ W | V | 2 V

Ok, então temos

A ( W - p r o j V   W ) = λ W - V ⋅ W | V | 2 V = λ W - p r o j V   W

Ou seja, W - p r o j V   W também é um autovetor associado a λ .

Passo 2

Se V   e W forem autovetores associados a autovalores diferentes, então A ( W - p r o j V   W ) ≠ λ W - p r o j V   W . Então, A ( W - p r o j V   W ) não vai ter o mesmo autovalor que V e W .

Resposta

Veja a resolução acima.

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