Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.2 - Ex. 1 f

1. Em cada parte, encontre a equação característica da matriz simétrica dada e depois, por inspeção, determine as dimensões dos autoespaços

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Passo 1

(f) Para achar a equação característica fazermos:

Onde:

Passo 2

Primeiro vamos fazer:

Passo 3

Retornando para:

Substituindo os valores:

Reescrevendo:

Então, temos:

Calculando o determinante, lembrando que para uma matriz , utilizamos o Teorema de Laplace, onde primeiro escolhemos e fila (linha ou coluna– preferencialmente com maior número de zeros) onde o determinante será a soma entre cada elemento multiplicado pelo seu cofator.

Vamos calcular os cofatores:

Onde é a matriz resultante da exclusão da linha e coluna :

Calculando o novo determinante, lembrando que para uma matriz , primeiro repetimos as duas primeiras colunas multiplicamos os elementos da diagonal principal e suas paralelas, e subtraímos do resultado da multiplicação dos elementos da diagonal secundária e suas parelas.