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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 29

29. Seja A uma matriz n × n com entradas complexas e defina as matrizes B e C por

B = 1 2 A + A * ; C = 1 2 i A - A *

(a) Mostre que B e C são hermitianas.

(b) Mostre que A = B + i C e A * = B - i C

(c) Que condições devem satisfazer B e C para que A seja normal?

Passo 1

Vamos usar as propriedades da transposta conjugada:

(a)

B = 1 2 A + A *

B * = 1 2 A + A * *

B * = 1 2 A * + A * *

B * = 1 2 A * + A

B * = B

Então B é hermitiana.

C = 1 2 i A - A *

C * = 1 - 2 i A - A * *

C * = - 1 2 i A * - A * *

C * = - 1 2 i A * - A

C * = 1 2 i A - A *

C * = C

Então C é hermitiana.

Passo 2

(b) Vamos mexendo nas equações:

A + A * = 2 B

A - A * = 2 i C

Somando as duas:

2 A = 2 B + 2 i C

A = B + i C

Subtraindo as duas:

2 A * = 2 B - 2 i C

A * = B - i C

Passo 3

(c) Para A ser normal:

A A * = A * A

Vamos susbtituir o que a gente achou na letra b:

B + i C B - i C = B - i C B + i C

B 2 - i B C + i C B - i 2 C 2 = B 2 + i B C - i C B - i 2 C 2

- i B C + i C B = + i B C - i C B

2 i C B = 2 i B C

B C = C B

Resposta

(a) B e C são hermitianas

(b) A = B + i C

A * = B - i C

(c) B C = C B

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