Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 23
Nos exercícios de 23-26, seja T a multiplicação pela matriz A. Encontre
- Uma base da imagem de T
- Uma base do núcleo de T
- O posto e a nulidade de T
- O posto e a nulidade de A
Passo 1
Item A)
Temos a matriz A:
Vamos transformá-la em uma matriz triangular superior por utilizando eliminação gaussiana. Vamos pegar a primeira linha, multiplicar por 5 e subtrair da segunda linha. Depois novamente pegamos a primeira linha, multiplicamos por 7 e subtraímos da terceira linha:
A segunda e a terceira linha são iguais, então podemos eliminar a terceira linha. E vamos dividir a segunda linha por 11:
Então, a primeira e a segunda coluna de formam a base do espaço coluna de A. Esse espaço coluna de A é igual a imagem de T
Passo 2
Item B)
Vamos voltar para nossa matriz triangular:
Vamos pegar a segunda linha e somar na primeira:
Agora vamos resolver o sistema:
Resolvendo:
Se chamarmos de :
Isso forma a base do espaço nulo de A, que é o núcleo de T:
Passo 3
O Posto de T é igual a dimensionalidade da base da imagem de T
A nulidade de T é igual a dimensão do núcleo de T:
Passo 4
O espaço coluna de A é bidimensional, então o posto é:
O espaço nulo de A é unidimensional, então a nulidade de A é?
Resposta
- e
- e