26. Mostre que A é normal. A = [[[2,+,2,i,i,1,-,i],[i,-,2,i,1,-,3,i],[1,-,i,1,-,3,i,-,3,+,8,i]]] Passo 1Vamos começar calculando a matriz conjugada: bar A = [[[2,-,2,i,-,i,1,+,i],[-,i,2,i,1,+,3,i],[1,+,i,1,+,3,i,-,3,-,8,i]]] Agora a transposta da conjugada: bar A^T = [[[2,-,2,i,-,i,1,+,i],[-,i,2,i,1,+,3,i],[1,+,i,1,+,3,i,-,3,-,8,i]]] Sabemos que bar A^T = A^* . Para ser norma: A A^* = A^* A Passo 2Vamos fazer uma multiplicação de cada vez pra não se embananar: A A^* = [[[2,+,2,i,i,1,-,i],[i,-,2,i,1,-,3,i],[1,-,i,1,-,3,i,-,3,+,8,i]]] [[[2,-,2,i,-,i,1,+,i],[-,i,2,i,1,+,3,i],[1,+,i,1,+,3,i,-,3,-,8,i]]] E vamos fazer termo a termo porque as contas são muito grandes... a_11 = (2 + 2 i) (2 - 2 i) + (i) (- i) + (1 - i) (1 + i) a_11 = 11 a_12 = (2 + 2 i) (- i) + (i) (2 i) + (1 - i) (1 + 3 i) a_12 = 4 a_13 = (2 + 2 i) (1 + i) + (i) (1 + 3 i) + (1 - i) (- 3 - 8 i) a_13 = - 14 a_21 = (i) (2 - 2 i) + (- 2 i) (- i) + (1 - 3 i) (1 + i) a_21 = 4 a_22 = (i) (- i) + (- 2 i) (2 i) + (1 - 3 i) (1 + 3 i) a_22 = 15 a_23 = (i) (1 + i) + (- 2 i) (1 + 3 i) + (1 - 3 i) (- 3 - 8 i) a_23 = - 22 a_31 = (1 - i) (2 - 2 i) + (1 - 3 i) (- i) + (- 3 + 8 i) (1 + i) a_31 = - 14 a_32 = (1 - i) (- i) + (1 - 3 i) (2 i) + (- 3 + 8 i) (1 + 3 i) a_32 = - 22 a_33 = (1 - i) (1 + i) + (1 - 3 i) (1 + 3 i) + (- 3 + 8 i) (- 3 - 8 i) a_33 = 85 Então: A A^* = [[[11,4,-,14],[4,15,-,22],[-,14,-,22,85]]] Passo 3Agora fazendo: A^* A = [[[2,-,2,i,-,i,1,+,i],[-,i,2,i,1,+,3,i],[1,+,i,1,+,3,i,-,3,-,8,i]]] [[[2,+,2,i,i,1,-,i],[i,-,2,i,1,-,3,i],[1,-,i,1,-,3,i,-,3,+,8,i]]] Fazendo termo a termo: a_11 = (2 - 2 i) (2 + 2 i) + (- i) (i) + (1 + i) (1 - i) a_11 = 11 a_12 = (2 - 2 i) (i) + (- i) (- 2 i) + (1 + i) (1 - 3 i) a_12 = 4 a_13 = (2 - 2 i) (1 - i) + (- i) (1 - 3 i) + (1 + i) (- 3 + 8 i) a_13 = - 14 a_21 = (- i) (2 + 2 i) + (2 i) (i) + (1 + 3 i) (1 - i) a_21 = 4 a_22 = (- i) (i) + (2 i) (- 2 i) + (1 + 3 i) (1 - 3 i) a_22 = 15 a_23 = (- i) (1 - i) + (2 i) (1 - 3 i) + (1 + 3 i) (- 3 + 8 i) a_23 = - 22 a_31 = (1 + i) (2 + 2 i) + (1 + 3 i) (i) + (- 3 - 8 i) (1 - i) a_31 = - 14 a_32 = (1 + i) (i) + (1 + 3 i) (- 2 i) + (- 3 - 8 i) (1 - 3 i) a_32 = - 22 a_33 = (1 + i) (1 - i) + (1 + 3 i) (1 - 3 i) + (- 3 - 8 i) (- 3 + 8 i) a_33 = 85 Então: A^* A = [[[11,4,-,14],[4,15,-,22],[-,14,-,22,85]]] Como A A^* = A^* A , então A é normal. RespostaComo A A^* = A^* A , então A é normal. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros Relacionados28. Mostre que cada entrada na diagonal principal de uma matriz anti-hermitiana é igual a zero ou é um número imaginário puro.25. Mostre que A é normal.A = [[[1,+,2,i,2,+,i,-,2,-,i],[2,+,i,1,+,i,-,i],[-,2,-,i,-,i,1,+,i]]]27. Mostre que a matriz A = 1 2 e i θ e - i θ i e i θ - i e - i θ É unitária, qualquer que seja o valor de θ . [Nota: ver a Fórmula (17) no Apêndice B para a definição de e i θ .]29. Seja A uma matriz n × n com entradas complexas e defina as matrizes B e C por B = 1 2 A + A * ; C = 1 2 i A - A * (a) Mostre que B e C são hermitianas.(b) Mostre que A = B + i C e A * = B - i C (c32. Mostre que os autovalores de uma matriz anti-hermitiana são ou nulos ou imaginários puros.Ver TambémVer Livro Anton - Álgebra LinearVer tudo sobre Espaços Vetoriais e Transformações LinearesLista de exercícios de Núcleo e Imagem de uma TLVer exercício 7.5 - 29Ver exercício 7.5 - 27