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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 26

26. Mostre que A é normal.

A = [[[2,+,2,i,i,1,-,i],[i,-,2,i,1,-,3,i],[1,-,i,1,-,3,i,-,3,+,8,i]]]

Passo 1

Vamos começar calculando a matriz conjugada:

bar A = [[[2,-,2,i,-,i,1,+,i],[-,i,2,i,1,+,3,i],[1,+,i,1,+,3,i,-,3,-,8,i]]]

Agora a transposta da conjugada:

bar A^T = [[[2,-,2,i,-,i,1,+,i],[-,i,2,i,1,+,3,i],[1,+,i,1,+,3,i,-,3,-,8,i]]]

Sabemos que bar A^T = A^* .

Para ser norma:

A A^* = A^* A

Passo 2

Vamos fazer uma multiplicação de cada vez pra não se embananar:

A A^* = [[[2,+,2,i,i,1,-,i],[i,-,2,i,1,-,3,i],[1,-,i,1,-,3,i,-,3,+,8,i]]] [[[2,-,2,i,-,i,1,+,i],[-,i,2,i,1,+,3,i],[1,+,i,1,+,3,i,-,3,-,8,i]]]

E vamos fazer termo a termo porque as contas são muito grandes...

a_11 = (2 + 2 i) (2 - 2 i) + (i) (- i) + (1 - i) (1 + i)

a_11 = 11

a_12 = (2 + 2 i) (- i) + (i) (2 i) + (1 - i) (1 + 3 i)

a_12 = 4

a_13 = (2 + 2 i) (1 + i) + (i) (1 + 3 i) + (1 - i) (- 3 - 8 i)

a_13 = - 14

a_21 = (i) (2 - 2 i) + (- 2 i) (- i) + (1 - 3 i) (1 + i)

a_21 = 4

a_22 = (i) (- i) + (- 2 i) (2 i) + (1 - 3 i) (1 + 3 i)

a_22 = 15

a_23 = (i) (1 + i) + (- 2 i) (1 + 3 i) + (1 - 3 i) (- 3 - 8 i)

a_23 = - 22

a_31 = (1 - i) (2 - 2 i) + (1 - 3 i) (- i) + (- 3 + 8 i) (1 + i)

a_31 = - 14

a_32 = (1 - i) (- i) + (1 - 3 i) (2 i) + (- 3 + 8 i) (1 + 3 i)

a_32 = - 22

a_33 = (1 - i) (1 + i) + (1 - 3 i) (1 + 3 i) + (- 3 + 8 i) (- 3 - 8 i)

a_33 = 85

Então:

A A^* = [[[11,4,-,14],[4,15,-,22],[-,14,-,22,85]]]

Passo 3

Agora fazendo:

A^* A = [[[2,-,2,i,-,i,1,+,i],[-,i,2,i,1,+,3,i],[1,+,i,1,+,3,i,-,3,-,8,i]]] [[[2,+,2,i,i,1,-,i],[i,-,2,i,1,-,3,i],[1,-,i,1,-,3,i,-,3,+,8,i]]]

Fazendo termo a termo:

a_11 = (2 - 2 i) (2 + 2 i) + (- i) (i) + (1 + i) (1 - i)

a_11 = 11

a_12 = (2 - 2 i) (i) + (- i) (- 2 i) + (1 + i) (1 - 3 i)

a_12 = 4

a_13 = (2 - 2 i) (1 - i) + (- i) (1 - 3 i) + (1 + i) (- 3 + 8 i)

a_13 = - 14

a_21 = (- i) (2 + 2 i) + (2 i) (i) + (1 + 3 i) (1 - i)

a_21 = 4

a_22 = (- i) (i) + (2 i) (- 2 i) + (1 + 3 i) (1 - 3 i)

a_22 = 15

a_23 = (- i) (1 - i) + (2 i) (1 - 3 i) + (1 + 3 i) (- 3 + 8 i)

a_23 = - 22

a_31 = (1 + i) (2 + 2 i) + (1 + 3 i) (i) + (- 3 - 8 i) (1 - i)

a_31 = - 14

a_32 = (1 + i) (i) + (1 + 3 i) (- 2 i) + (- 3 - 8 i) (1 - 3 i)

a_32 = - 22

a_33 = (1 + i) (1 - i) + (1 + 3 i) (1 - 3 i) + (- 3 - 8 i) (- 3 + 8 i)

a_33 = 85

Então:

A^* A = [[[11,4,-,14],[4,15,-,22],[-,14,-,22,85]]]

Como A A^* = A^* A , então A é normal.

Resposta

Como A A^* = A^* A , então A é normal.

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