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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 25

25. Mostre que A é normal.

A = [[[1,+,2,i,2,+,i,-,2,-,i],[2,+,i,1,+,i,-,i],[-,2,-,i,-,i,1,+,i]]]

Passo 1

Vamos começar calculando a matriz conjugada:

bar A = [[[1,-,2,i,2,-,i,-,2,+,i],[2,-,i,1,-,i,i],[-,2,+,i,i,1,-,i]]]

Agora a transposta da conjugada:

bar A^T = [[[1,-,2,i,2,-,i,-,2,+,i],[2,-,i,1,-,i,i],[-,2,+,i,i,1,-,i]]]

Sabemos que bar A^T = A^* .

Para ser norma:

A A^* = A^* A

Passo 2

Vamos fazer uma multiplicação de cada vez pra não se embananar:

A A^* = [[[1,+,2,i,2,+,i,-,2,-,i],[2,+,i,1,+,i,-,i],[-,2,-,i,-,i,1,+,i]]] [[[1,-,2,i,2,-,i,-,2,+,i],[2,-,i,1,-,i,i],[-,2,+,i,i,1,-,i]]]

E vamos fazer termo a termo porque as contas são muito grandes...

a_11 = (1 + 2 i) (1 - 2 i) + (2 + i) (2 - i) + (- 2 - i) (- 2 + i)

a_11 = 15

a_12 = (1 + 2 i) (2 - i) + (2 + i) (1 - i) + (- 2 - i) (i)

a_12 = 8

a_13 = (1 + 2 i) (- 2 + i) + (2 + i) (i) + (- 2 - i) (1 - i)

a_13 = - 8

a_2 1 = (2 + i) (1 - 2 i) + (1 + i) (2 - i) + (- i) (- 2 + i)

a_21 = 8

a_2 2 = (2 + i) (2 - i) + (1 + i) (1 - i) + (- i) (i)

a_22 = 8

a_2 3 = (2 + i) (- 2 + i) + (1 + i) (i) + (- i) (1 - i)

a_23 = - 7

a_3 1 = (- 2 - i) (1 - 2 i) + (- i) (2 - i) + (1 + i) (- 2 + i)

a_31 = - 8

a_3 2 = (- 2 - i) (2 - i) + (- i) (1 - i) + (1 + i) (i)

a_32 = - 7

a_3 3 = (- 2 - i) (- 2 + i) + (- i) (i) + (1 + i) (1 - i)

a_33 = 8

Então:

A A^* = [[[15,8,-,8],[8,8,-,7],[-,8,-,7,8]]]

Passo 3

Agora fazendo:

A^* A = [[[1,-,2,i,2,-,i,-,2,+,i],[2,-,i,1,-,i,i],[-,2,+,i,i,1,-,i]]] [[[1,+,2,i,2,+,i,-,2,-,i],[2,+,i,1,+,i,-,i],[-,2,-,i,-,i,1,+,i]]]

Fazendo termo a termo:

a_11 = (1 - 2 i) (1 + 2 i) + (2 - i) (2 + i) + (- 2 + i) (- 2 - i)

a_11 = 15

a_12 = (1 - 2 i) (2 + i) + (2 - i) (1 + i) + (- 2 + i) (- i)

a_12 = 8

a_13 = (1 - 2 i) (- 2 - i) + (2 - i) (- i) + (- 2 + i) (1 + i)

a_13 = - 8

a_2 1 = (2 - i) (1 + 2 i) + (1 - i) (2 + i) + (i) (- 2 - i)

a_21 = 8

a_2 2 = (2 - i) (2 + i) + (1 - i) (1 + i) + (i) (- i)

a_22 = 8

a_2 3 = (2 - i) (- 2 - i) + (1 - i) (- i) + (i) (1 + i)

a_23 = - 7

a_3 1 = (- 2 + i) (1 + 2 i) + (i) (2 + i) + (1 - i) (- 2 - i)

a_31 = - 8

a_3 2 = (- 2 + i) (2 + i) + (i) (1 + i) + (1 - i) (- i)

a_32 = - 7

a_3 3 = (- 2 + i) (- 2 - i) + (i) (- i) + (1 - i) (1 + i)

a_33 = 8

Então:

A^* A = [[[15,8,-,8],[8,8,-,7],[-,8,-,7,8]]]

Como A A^* = A^* A , então A é normal.

Resposta

Como A A^* = A^* A , então A é normal.

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