25. Mostre que A é normal. A = [[[1,+,2,i,2,+,i,-,2,-,i],[2,+,i,1,+,i,-,i],[-,2,-,i,-,i,1,+,i]]] Passo 1Vamos começar calculando a matriz conjugada: bar A = [[[1,-,2,i,2,-,i,-,2,+,i],[2,-,i,1,-,i,i],[-,2,+,i,i,1,-,i]]] Agora a transposta da conjugada: bar A^T = [[[1,-,2,i,2,-,i,-,2,+,i],[2,-,i,1,-,i,i],[-,2,+,i,i,1,-,i]]] Sabemos que bar A^T = A^* . Para ser norma: A A^* = A^* A Passo 2Vamos fazer uma multiplicação de cada vez pra não se embananar: A A^* = [[[1,+,2,i,2,+,i,-,2,-,i],[2,+,i,1,+,i,-,i],[-,2,-,i,-,i,1,+,i]]] [[[1,-,2,i,2,-,i,-,2,+,i],[2,-,i,1,-,i,i],[-,2,+,i,i,1,-,i]]] E vamos fazer termo a termo porque as contas são muito grandes... a_11 = (1 + 2 i) (1 - 2 i) + (2 + i) (2 - i) + (- 2 - i) (- 2 + i) a_11 = 15 a_12 = (1 + 2 i) (2 - i) + (2 + i) (1 - i) + (- 2 - i) (i) a_12 = 8 a_13 = (1 + 2 i) (- 2 + i) + (2 + i) (i) + (- 2 - i) (1 - i) a_13 = - 8 a_2 1 = (2 + i) (1 - 2 i) + (1 + i) (2 - i) + (- i) (- 2 + i) a_21 = 8 a_2 2 = (2 + i) (2 - i) + (1 + i) (1 - i) + (- i) (i) a_22 = 8 a_2 3 = (2 + i) (- 2 + i) + (1 + i) (i) + (- i) (1 - i) a_23 = - 7 a_3 1 = (- 2 - i) (1 - 2 i) + (- i) (2 - i) + (1 + i) (- 2 + i) a_31 = - 8 a_3 2 = (- 2 - i) (2 - i) + (- i) (1 - i) + (1 + i) (i) a_32 = - 7 a_3 3 = (- 2 - i) (- 2 + i) + (- i) (i) + (1 + i) (1 - i) a_33 = 8 Então: A A^* = [[[15,8,-,8],[8,8,-,7],[-,8,-,7,8]]] Passo 3Agora fazendo: A^* A = [[[1,-,2,i,2,-,i,-,2,+,i],[2,-,i,1,-,i,i],[-,2,+,i,i,1,-,i]]] [[[1,+,2,i,2,+,i,-,2,-,i],[2,+,i,1,+,i,-,i],[-,2,-,i,-,i,1,+,i]]] Fazendo termo a termo: a_11 = (1 - 2 i) (1 + 2 i) + (2 - i) (2 + i) + (- 2 + i) (- 2 - i) a_11 = 15 a_12 = (1 - 2 i) (2 + i) + (2 - i) (1 + i) + (- 2 + i) (- i) a_12 = 8 a_13 = (1 - 2 i) (- 2 - i) + (2 - i) (- i) + (- 2 + i) (1 + i) a_13 = - 8 a_2 1 = (2 - i) (1 + 2 i) + (1 - i) (2 + i) + (i) (- 2 - i) a_21 = 8 a_2 2 = (2 - i) (2 + i) + (1 - i) (1 + i) + (i) (- i) a_22 = 8 a_2 3 = (2 - i) (- 2 - i) + (1 - i) (- i) + (i) (1 + i) a_23 = - 7 a_3 1 = (- 2 + i) (1 + 2 i) + (i) (2 + i) + (1 - i) (- 2 - i) a_31 = - 8 a_3 2 = (- 2 + i) (2 + i) + (i) (1 + i) + (1 - i) (- i) a_32 = - 7 a_3 3 = (- 2 + i) (- 2 - i) + (i) (- i) + (1 - i) (1 + i) a_33 = 8 Então: A^* A = [[[15,8,-,8],[8,8,-,7],[-,8,-,7,8]]] Como A A^* = A^* A , então A é normal. RespostaComo A A^* = A^* A , então A é normal. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAVer Outros Exercícios desse livroExercícios de Livros RelacionadosSe A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo - ∞ ,∞ e W = F ( - ∞ ,∞ ) o espaço vetorial de todas as funções reais definidas em (Seja A uma matriz 5 × 7 com posto 4Qual é a dimensão do espaço solução de A x → = 0 → A x → = b → será consistente qualquer que seja o vetor b → em R 5 ? ExpliqueSejam V um espaço vetorial qualquer e T :V → V definido por T v → = 3 v → Qual é o núcleo de T?Qual é a imagem de T?Descreva o núcleo e a imagemDa projeção ortogonal sobre o plano xzDa projeção ortogonal sobre o plano yzDa projeção ortogonal sobre o plano definido pela equação y=xVer TambémVer Livro Anton - Álgebra LinearVer tudo sobre Espaços Vetoriais e Transformações LinearesLista de exercícios de Núcleo e Imagem de uma TLVer exercício 5.4 - 10Ver exercício 7.5 - 29