Seja A uma matriz invertível n × n . Mostre que existe uma matriz simétrica definida positiva P e uma matriz ortogonal U , tal que A = P U . Esta decomposição é única chamada de decomposição polar de A . (Sugestão: Sejam P = ( A A t ) 1 / 2 e U = P - 1 A . Mostre que U U t = I n .)

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.2 - Ex. 8

Seja uma matriz invertível . Mostre que existe uma matriz simétrica definida positiva e uma matriz ortogonal , tal que . Esta decomposição é única chamada de decomposição polar de . (Sugestão: Sejam e . Mostre que .)

Passo 1

E aí, galerinha! Como estão as coisas? Tudo bem, tirando essa questão, né? Não se preocupe que a gente Responde Aí juntos.

Nós vamos seguir a sugestão do enunciado e escrever . Então, não é muito difícil de ver que . Beleza! Vamos escrever também . Agora, temos que mostrar que é uma matriz simétrica definida positiva e que é uma matriz ortogonal, ou seja, . Vamos começar pelo começo, que é a primeira condição. Como , então e

Por outro lado,

Já que , então e a matriz é simétrica. Já aproveitando que é simétrica, temos que sua inversa também é simétrica, .

Passo 2

Agora, usando e , obtemos

Então, é ortogonal. Belezinha, pessoal! Era só isso que tinha pra mostrar. Até mais!

Resposta

Veja a resolução acima.

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Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:f) 2 1 1 1 2 1 1 1 2

Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:e) 1 1 0 1 1 0 0 0 1

Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:g) 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 2 1

Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:c) 0 0 1 0 0 0 1 0 0

Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:d) 0 0 0 0 2 2 0 2 2