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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.2 - Ex. 8

Seja A uma matriz invertível n × n . Mostre que existe uma matriz simétrica definida positiva P e uma matriz ortogonal U , tal que A = P U . Esta decomposição é única chamada de decomposição polar de A . (Sugestão: Sejam P = ( A A t ) 1 / 2 e U = P - 1 A . Mostre que U U t = I n .)

Passo 1

E aí, galerinha! Como estão as coisas? Tudo bem, tirando essa questão, né? Não se preocupe que a gente Responde Aí juntos.

Nós vamos seguir a sugestão do enunciado e escrever U = P - 1 A . Então, não é muito difícil de ver que P U = P P - 1 A = A . Beleza! Vamos escrever também P = ( A A t ) 1 / 2 . Agora, temos que mostrar que P é uma matriz simétrica definida positiva e que U é uma matriz ortogonal, ou seja, U U t = I n . Vamos começar pelo começo, que é a primeira condição. Como P = ( A A t ) 1 / 2 , então P 2 = A A t e

( P 2 ) t = ( A A t ) t = ( A t ) t A t = A A t = P 2

Por outro lado,

( P 2 ) t = ( P P ) t = P t P t = ( P t ) 2

Já que ( P t ) 2 = P 2 , então P t = P e a matriz é simétrica. Já aproveitando que P é simétrica, temos que sua inversa também é simétrica, ( P - 1 ) t = P - 1 .

Passo 2

Agora, usando ( P - 1 ) t = P - 1 e P = ( A A t ) 1 / 2 , obtemos

U U t = P - 1 A P - 1 A t = P - 1 A A t ( P - 1 ) t = P - 1 A A t P - 1 = P - 1 P 2 P - 1 = P - 1 P P P - 1 = I n .

Então, U é ortogonal. Belezinha, pessoal! Era só isso que tinha pra mostrar. Até mais!

Resposta

Veja a resolução acima.

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Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:f) 2 1 1 1 2 1 1 1 2
Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:e) 1 1 0 1 1 0 0 0 1
Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:g) 1 2 0 0 2 1 0 0 0 0 1 2 0 0 2 1
Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:c) 0 0 1 0 0 0 1 0 0
Para a matriz dada A , ache uma matriz ortogonal P tal que P t A P seja diagonal:d) 0 0 0 0 2 2 0 2 2