Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 6.1 - Ex. 26a

Mostre que se V é autovetor de A , então V é autovetor de A k . Com qual autovalor?

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo beleza? Então, bora lá!

Bom, se V é autovetor de A com autovalor λ , então

A V = λ V

Se a gente aplicar A novamente, teremos

A ( A V ) = A 2 V = λ A V = λ 2 V

Ou seja, quando aplicamos A duas vezes em V , obtemos λ 2 como autovalor de A 2 . Você consegue notar que vamos ter algo do tipo A k V = λ k V ? A resposta é essa mesmo, mas vamos demonstrar no próximo passo.

Passo 2

Seguindo a indução matemática, vamos supor que, para k - 1 , temos A k - 1 V = λ k - 1 V . Agora, vamos aplicar A novamente em ambos os lados

A ( A k - 1 V ) = λ k - 1 A V ⇒ A k V = λ k V .

Então, então V é autovetor de A k com autovalor λ k , sacou? Muito bem! Até a próxima então!

Resposta

Veja a resolução acima.

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que se U for uma matriz unitária n × n e z 1 = z 2 = … = z n = 1 então o produto Também é unitário.
Encontre a matriz unitária U que diagonaliza A = 1 1 0 0 1 1 1 0 1 E determine a matriz diagonal D = U - 1 A U .
Nos Exercícios 2–9, encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P . A = 3 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Encontre uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e determine P - 1 A P . A = - 7 24 0 0 24 7 0 0 0 0 - 7 24 0 0 24 7
2. Prove: se Q for uma matriz ortogonal, então cada entrada de Q é dada pelo seu cofator se det ⁡ ( Q ) = 1 e pelo negativo de seu cofator se det ⁡ ( Q ) = - 1 .