Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 11e
Verificar se a matriz é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz que diagonaliza e calcular .
Passo 1
O problema fornece uma matriz e pede para verificar se ela é diagonalizável ou não. Se ela for, temos que encontrar a matriz de modo que seja diagonal.
Basicamente, o que temos que fazer é encontrar os autovalores de e seus autovetores associados. Se os autovetores formarem uma base, então a matriz será diagonalizável! Neste caso, as colunas da matriz são as componentes dos autovetores.
já primeira coisa que você tem que tentar fazer é achar os autovalores resolvendo a equação característica:
Assim,
Desenvolvendo o determinante com relação a primeira linha:
Assim,
Portanto, os autovalores são
Como um dos autovalores tem multiplicidade , temos que ver se a matriz admite dois autovetores associados a ele. Caso isso ocorra, ela será diagonalizável.
Passo 2
A equação para determinarmos os autovetores é
Para :
Da terceira equação:
Substituindo na segunda:
Logo,
Assim, os autovetores de associados a são combinações lineares de . Sendo assim, a dimensão desse autoespaço é , enquanto a multiplicidade do autovalor é . Por isso a matriz não pode ser diagonalizada.
Resposta
não é diagonalizável