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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 14c

Determinar uma matriz P que diagonaliza A ortogonalmente e calcular P - 1 A P .

A = 3 - 1 1 - 1 5 - 1 1 - 1 3

Passo 1

O problema fornece uma matriz simétrica A e pede para encontrarmos uma matriz ortogonal de modo que P - 1 A P seja diaogonal.

Para isso, temos que lembrar que uma matriz simétrica é sempre diagonal e seus autovetores serão ortogonais entre si. Assim, a matriz de mudança de base P construída com os autovetores de A será ortogonal ( P t = P - 1 ). Desta forma, o que temos que fazer é encontrar os autovetores de A e normalizá-los para construir P !

O primeiro passo é encontrar os autovalores de A pela equação característica:

det ⁡ ( A - λ I ) = 0

Assim,

3 - λ - 1 1 - 1 5 - λ - 1 1 - 1 3 - λ = 0

Desenvolvendo o determinante com relação a primeira linha:

3 - λ 5 - λ 3 - λ - 1 + - 3 + λ + 1 + ( 1 - 5 + λ ) = 0

Logo,

3 - λ λ 2 - 8 λ + 14 + 2 λ - 6 = 0 ⇒ 3 - λ λ 2 - 8 λ + 12 = 0

Portanto, os autovalores são

λ 1 = 2 ,   λ 2 = 3   e   λ 3 = 6

Passo 2

Agora vamos procurar os autovetores:

A - λ I   v = 0

Para λ 1 = 2 :

1 - 1 1 - 1 3 - 1 1 - 1 1 a b c = 0 0 0

Assim, tiramos que

b = 0             e           a + c = 0 ⇒ c = - a

Logo,

v 1 = a ,   b ,   c = a ,   0 ,   - a = a   ( 1 ,   0 ,   - 1 )

Para que ele seja normalizado, a = 1 / 2 :

v 1 = 1 2 , 0 ,   - 1 2

Já para o segundo autovalor λ 2 = 3 :

0 - 1 1 - 1 2 - 1 1 - 1 0 a b c = 0 0 0

Portanto,

a = b = c

Assim,

v 2 = a ,   b , c = b ,   b ,   b = b   ( 1 ,   1 ,   1 )

Escolhendo b = 1 / 3 :

v 2 = ( 1 3 , 1 3 , 1 3 )

Por fim, para λ 3 = 6 :

- 3 - 1 1 - 1 - 1 - 1 1 - 1 - 3 a b c = 0 0 0

Daqui, obtemos

c = 3 a + b ⇒ - a - b - 3 a + b = 0 ⇒ - 4 a - 2 b = 0 ⇒ b = - 2 a ⇒ c = a

Logo,

v 3 = 1 6 ,   - 2 6 , 1 6

Passo 3

Agora que temos os autovetores, basta construir a matriz P com eles:

P = 1 2 1 3 1 6 0 1 3 - 2 6 - 1 2 1 3 1 6

Com essa matriz,

P - 1 A P = 2 0 0 0 3 0 0 0 6

Resposta

P = 1 2 1 3 1 6 0 1 3 - 2 6 - 1 2 1 3 1 6

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