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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 3ª Edição - J. L. Boldrini- Ed: 3º - Capítulo 12.4 - Ex. 4

Dê a solução do sistema linear:

{[[(d x)/(d t) = - 9 x + 19 y + 4 z],[(d y)/(d t) = - 3 x + 7 y + z],[(d z)/(d t) = - 7 x + 17 y + 2 z]])

Passo 1

Pra resolver esse sisteminha, vamos começar escrevendo ele na forma matricial que aprendemos:

{[[(d x)/(d t) = - 9 x + 19 y + 4 z],[(d y)/(d t) = - 3 x + 7 y + z],[(d z)/(d t) = - 7 x + 17 y + 2 z]])

[[[[[(d x)/(d t)],[(d y)/(d t)]]],[(d z)/(d t)]]] = [[[-,9,19,4],[-,3,7,1],[-,7,17,2]]] [[[x],[y],[z]]]

Passo 2

Agora vamos fazer o que a gente já aprendeu: calcular os autovalores e autovetores dessa matriz!

det ([[[-,9,19,4],[-,3,7,1],[-,7,17,2]]] - lambda I) = 0

|[[-,9,-,lambda,19,4],[-,3,7,-,lambda,1],[-,7,17,2,-,lambda]]| = 0

Calculando o determinante pela regra de Sarrus:

(- 9 - lambda) (7 - lambda) (2 - lambda) - 19 (7) - 4 ( 3 ) ( 17 ) + 28 (7 - lambda) - 17 (- 9 - lambda) + 57 (2 - lambda) = 0

Desenvolvendo,

lambda^3 + lambda = 0

lambda (lambda^2 + 1) = 0

E isso nos vai dar três soluções:

lambda = 0 , lambda = i , lambda = - i

Ué, gente, deu autovalor complexo... pode isso? Pode sim, não é problema nenhum, só é bem feioso! Vamos continuar normalmente.

Agora a gente substitui ali em cima pra achar os autovetores! Primeiro lambda = 0 :

lambda = 0 : [[[-,9,19,4],[-,3,7,1],[-,7,17,2]]] [[[[[x],[y]]],[z]]] = 0

Multiplicando, vamos obter o sistema:

{[[[[- 9 x + 19 y + 4 z = 0],[- 3 x + 7 y + z = 0]]],[- 7 x + 17 y + 2 z = 0]])

Resolvendo, vamos encontrar o nosso autovetor v = ( 3 , 1 , 2 ) . Vamos pra lambda = i :

lambda = i : [[[-,9,-,i,19,4],[-,3,7,-,i,1],[-,7,17,2,-,i]]] [[[[[x],[y]]],[z]]] = 0

Multiplicando, vamos obter o sistema:

{[[[[( - 9 - i ) x + 19 y + 4 z = 0],[- 3 x + ( 7 - i ) y + z = 0]]],[- 7 x + 17 y + ( 2 - i ) z = 0]])

Resolvendo, vamos encontrar x = 71 - 10 i , y = 23 - 10 i , z = 53 . Nosso autovetor será v = ( 71 - 10 i , 23 - i , 53 ) . Falta lambda = - i :

lambda = - i : [[[-,9,+,i,19,4],[-,3,7,+,i,1],[-,7,17,2,+,i]]] [[[[[x],[y]]],[z]]] = 0

Multiplicando, vamos obter o sistema:

{[[[[( - 9 + i ) x + 19 y + 4 z = 0],[- 3 x + ( 7 + i ) y + z = 0]]],[- 7 x + 17 y + ( 2 + i ) z = 0]])

Resolvendo, vamos encontrar x = 71 + 10 i , y = 23 + 10 i , z = 53 . Nosso autovetor será v = ( 71 + 10 i , 23 + i , 53 ) .

Passo 3

Por isso, a solução do sistema é:

[[[[[x],[y]]],[z]]] = c_1 [[[[[3],[1]]],[2]]] e^0 + c_2 [[[[[71,-,10,i],[23,-,i]]],[53]]] e^t + c_3 [[[[[71,+,10,i],[23,+,i]]],[53]]] e^(- t)

Assim,

x (t) = 3 c_1 + (71 - 10 i) c_2 e^t + (71 + 10 i) c_3 e^(- t)

y (t) = c_1 + (23 - i) c_2 e^t + (23 + i) c_3 e^(- t)

z (t) = 2 c_1 + 53 c_2 e^t + 53 c_3 e^(- t)

Resposta

x (t) = 3 c_1 + (71 - 10 i) c_2 e^t + (71 + 10 i) c_3 e^(- t)

y (t) = c_1 + (23 - i) c_2 e^t + (23 + i) c_3 e^(- t)

z (t) = 2 c_1 + 53 c_2 e^t + 53 c_3 e^(- t)

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Em cada parte, determine se o terno ordenado dado é uma solução do sistema linear x 1 + 2 x 2 - 2 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + x 3 = 1 - x 1 - 5 x 2 - 5 x 3 = 5
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