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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 5

Seja F ∈ L R 2 o operador dado por F 1 ,   0 =   ( 2 ,   5 ) e F 0 ,   1   =   ( 3 ,   4 ) . Verificar se são automorfismos do R 2 : G = I + F e   H = I + F + F 2 .

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Vamos usar um vetor genérico x , y no R 2 . Temos:

F x , y

Agora vamos aplicar F 1 ,   0 e   F 0 ,   1 :

F x , y = x F 1 ,   0 + y F 0 ,   1

Substituindo, temos:

F x , y , z = x 2 ,   5 + y 3 ,   4

Vamos escrever na forma de matriz porque aí não tem erro:

F x , y = x 2 5 + y 3 4

F x , y = 2 3 5 4 x y

F x , y = 2 x + 3 y , 5 x + 4 y

Passo 2

Primeiro, quem é I :

I = 1 0 0 1 x y

Agora vamos fazer:

G = 1 0 0 1 + 2 3 5 4

G = 3 3 5 5 x y

G = 3 x + 3 y , 5 x + 5 y

Para sabermos se é um automorfismo, preciaremos no núcleo e da imagem, onde o núcleo precisa ser injetora e a imagem sobrejetora.

Passo 3

Agora vamos determinar K e r F , para isso vamo igualar a zero:

3 x + 3 y , 5 x + 5 y = 0,0

Vamos montar em forma de sistema:

3 x + 3 y = 0 5 x + 5 y = 0

Vamos escolher a primeira equação:

3 x + 3 y = 0

Isolando x :

3 x = - 3 y

x = - y

Substituindo x na segunda equação, temos:

5 . ( - y ) + 5 y = 0

- 5 y + 5 y = 0

y . 0 = 0

y = 0

Vamos substituir y em x :

x = - y

x = - 0

x = 0

Temos o núcleo é:

K e r G = 0,0

Então é injetora.

Para I m ( G ) , primeiro vamos fazer descobrir sua dimensão:

dim ⁡ R 2 = d i m ⁡ ( K e r G + d i m ⁡ ( I m G

2 = 0 +   d i m ⁡ ( I m G

d i m ⁡ ( I m G = 2

Como:

dim ⁡ R 2 = d i m ⁡ ( K e r G

Logo é sobrejetora.

Então é um automorfismo.

Passo 4

Agora vamos calcular:

H = I + F + F 2

H = 1 0 0 1 + 2 3 5 4 + 2 3 5 4 2

H = 3 3 5 5 2 3 5 4

H = 3 3 5 5 + 4 + 15 6 + 12 10 + 20 15 + 16

H = 3 3 5 5 + 19 18 30 31

H = 22 21 35 36 x y

H = 22 x + 21 y , 35 x + 36 y

Passo 5

Agora vamos determinar K e r F , para isso vamo igualar a zero:

22 x + 21 y , 35 x + 36 y = 0,0

Vamos montar em forma de sistema:

22 x + 21 y = 0 35 x + 36 y = 0

Vamos escolher a primeira equação:

22 x + 21 y = 0

Isolando x :

22 x = - 21 y

x = - 21 y 22

Substituindo x na segunda equação, temos:

35 x + 36 y = 0

35 - 21 y 22 + 36 y = 0

- 735 y 22 + 36 y = 0

Multiplicando a equação por 22 :

- 735 y + 792 y = 0

57 y = 0

y = 0

Vamos substituir y em x :

x = - 21 y 22

x = - 21 ∙ 0 22

x = 0

Temos o núcleo é:

K e r H = 0,0

Então é injetora.

Para I m ( H ) , primeiro vamos fazer descobrir sua dimensão:

dim ⁡ R 2 = d i m ⁡ ( K e r H + d i m ⁡ ( I m H

2 = 0 +   d i m ⁡ ( I m H

d i m ⁡ ( I m H = 2

Como:

dim ⁡ R 2 = d i m ⁡ ( K e r H

Logo é sobrejetora.

Então é um automorfismo.

Arrasamos!!!!!!

Até a próxima questão!!!

Resposta

G = I + F e   H = I + F + F 2 são automorfismos.

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