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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 7.2 - Ex. 5

Seja A = 2 3 4 1 1 2 0 0 2

Calcular d e t ( A - λ I 3 ) e, a seguir, no polinômio p λ obtido, substitua λ por A , obtendo assim a matriz p ( A ) .

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Para calcular o determinante de d e t ( A - λ I 3 ) , primeiro vamos fazer:

λ I 3 = λ ∙ 1 0 0 0 1 0 0 0 1

λ I 3 = λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

E agora vamos fazer:

A - λ I 3 = 2 3 4 1 1 2 0 0 2 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

A - λ I 3 = 2 - λ 3 4 1 1 - λ 2 0 0 2 - λ

Agora, bora calcular esse determinante???

Passo 2

Para calcular o determinante de uma matriz 3 × 3 vamos primeiro repetir os termos da primeira e segunda coluna, e depois multiplicar os elementos da diagonal principar e fazer a subtração dos elementos da matriz secundária:

A - λ I 3 = 2 - λ 3 4 1 1 - λ 2 0 0 2 - λ 2 - λ 3 1 1 - λ 0 0

det ⁡ A - λ I 3 = 2 - λ ∙ 1 - λ ∙ 2 - λ + 0 + 0 - 0 - 0 - 3 ∙ 2 - λ

det ⁡ A - λ I 3 = 2 - λ ∙ 1 - λ ∙ 2 - λ - 3 ∙ 2 - λ

Podemos colocar 2 - λ em evidência:

det ⁡ A - λ I 3 = 2 - λ 1 - λ ∙ 2 - λ - 3

det ⁡ A - λ I 3 = 2 - λ 2 - 3 λ + λ 2 - 3

det ⁡ A - λ I 3 = 2 - λ - 1 - 3 λ + λ 2

Reorganizando:

det ⁡ A - λ I 3 = 2 - λ λ 2 - 3 λ - 1

Como o nosso determinante resultou em um polinômio p λ :

p λ = 2 - λ λ 2 - 3 λ - 1

Passo 3

Agora, bora achar essa matriz p A ?

Para isso precisamos substituir a matriz em λ :

p A = 2 - 2 3 4 1 1 2 0 0 2 2 3 4 1 1 2 0 0 2 2 - 3 2 3 4 1 1 2 0 0 2 - 1

p A = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 - 2 3 4 1 1 2 0 0 2 2 3 4 1 1 2 0 0 2 2 - 3 2 3 4 1 1 2 0 0 2 - 1 1 1 1 1 1 1 1 1

p A = 2 - 2 2 - 3 2 - 4 2 - 1 2 - 1 2 - 2 0 0 2 - 2 2 3 4 1 1 2 0 0 2 2 3 4 1 1 2 0 0 2 - 3 2 3 4 1 1 2 0 0 2 - 1 1 1 1 1 1 1 1 1

p A = 0 - 1 - 2 1 1 0 0 0 0 4 + 3 6 + 3 8 + 6 + 8 2 + 1 3 + 1 4 + 2 + 4 0 0 4 - 6 9 12 3 3 6 0 0 6 - 1 1 1 1 1 1 1 1 1

p A = 0 - 1 - 2 1 1 0 0 0 0 7 9 24 3 4 10 0 0 4 - 6 9 12 3 3 6 0 0 6 - 1 1 1 1 1 1 1 1 1

p A = 0 - 1 - 2 1 1 0 0 0 0 1 0 12 0 1 4 0 0 2 - 1 1 1 1 1 1 1 1 1

p A = 0 - 1 - 2 1 1 0 0 0 0 1 - 1 0 - 1 12 - 1 0 1 - 1 4 - 1 0 0 2 - 1

p A = 0 - 1 - 2 1 1 0 0 0 0 0 - 1 11 0 0 3 0 0 1

p A = 0 0 - 3 - 1 0 - 1 11 + 3 0 0 0

p A = 0 0 - 4 0 - 1 17 0 0 0

Arrasamos!!! Bora fazer outra????

Resposta

p λ = 2 - λ λ 2 - 3 λ - 1

p A = 0 0 - 4 0 - 1 17 0 0 0

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