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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.1 - Ex. 8

Sejam F in L (U , V) e G in L (V , W) tais que K e r ( F ) = {o} e K e r (G) = { o } . Provar que K e r (G * F) = {o} .

Passo 1

E aí? Bora matar mais essa?

Vamos escrever dois vetores para F e G :

F ( x , y ) = (x , 2 y) = x [[[1],[0]]] + y [[[0],[2]]] = [[[1,0],[0,2]]] [[[x],[y]]]

G ( x , y ) = (2 x + 4 y , 6 x + 4 y) = x [[[2],[6]]] + y [[[4],[4]]] = [[[2,4],[6,4]]] [[[x],[y]]]

Passo 2

Vamos determinar K e r (F) , para isso vamo igualar a zero:

(x , 2 y) = (0,0)

Vamos montar em forma de sistema:

{[[x,=,0],[2,y,=,0]])

Temos que:

x = 0

y = 0

Temos o núcleo é:

K e r (F) = (0,0)

Passo 3

Agora vamos determinar K e r (G) , para isso vamo igualar a zero:

(2 x + 4 y , 6 x + 4 y) = (0,0)

Vamos montar em forma de sistema:

{[[2,x,+,4,y,=,0],[6,x,+,4,y,=,0]])

Vamos escolher a primeira equação:

2 x + 4 y = 0

Isolando x :

2 x = - 4 y

x = - 2 y

Substituindo x na segunda equação, temos:

6 x + 4 y = 0

6 (- 2 y) + 4 y = 0

- 12 y + 4 y = 0

- 8 y = 0

y = 0

Vamos substituir y em x :

x = - 2 y

x = - 2 * 0

x = 0

Temos o núcleo é:

K e r (G) = (0,0)

Passo 4

Agora para determinar K e r (G * F) , vamos primeiro fazer a multiplicação:

G * F = [[[2,4],[6,4]]] [[[x],[y]]] * [[[1,0],[0,2]]] [[[x],[y]]]

G * F = [[[2,4],[6,4]]] * [[[1,0],[0,2]]]

G * F = [[[2,8],[6,8]]] [[[x],[y]]]

G * F = (2 x + 8 y , 6 x + 8 y)

vamos determinar K e r (G * F) , para isso vamo igualar a zero:

((2 x + 8 y , 6 x + 8 y)) = (0,0)

Vamos montar em forma de sistema:

{[[2,x,+,8,y,=,0],[6,x,+,8,y,=,0]])

Vamos escolher a primeira equação:

2 x + 8 y = 0

Isolando x :

2 x = - 8 y

x = - 4 y

Substituindo x na segunda equação, temos:

6 x + 8 y = 0

6 (- 4 y) + 8 y = 0

- 2 4 y + 8 y = 0

- 16 y = 0

y = 0

Vamos substituir y em x :

x = - 4 y

x = - 4 * 0

x = 0

Temos o núcleo é:

K e r (G * F) = (0,0)

Arrasamos!!!!!!

Até a próxima questão!!!

Resposta

Provamos que quando temos K e r (F) = (0,0) e K e r (G) = (0,0) , então K e r (G * F) = (0,0) .

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