Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 13
Sendo um ponto de e e as distâncias de aos focos, calcule?
- e em função de ;
- Os valores máximo e mínimo de e ; em que pontos ocorrem?
Passo 1
Vamos começar respondendo a letra a).
Se assumirmos, através das definições da elipse, que , temos uma elipse com focos no eixo e centrada na origem para esta questão. Estes focos estão localizados em , sendo .
Vamos então seguir os cálculos carregando os sinais da coordenada . Com isto, conseguiremos as duas respostas de uma vez só! Mais fácil né!
Então vamos lá. Um ponto se e somente se este ponto satisfaz a equação da elipse. Portanto,
Pronto, já conseguimos expressar a coordenada do nosso ponto como uma função de .
Passo 2
Agora, vamos calcular a distância entre e os nossos focos. Não se esqueçam de carregar os sinais da coordenada do foco! Portanto,
Agora, vamos substituir a relação de que descobrimos no passo anterior. Portanto,
Mas , então:
Só que:
Portanto, substituindo esta relação no calculo da distância, temos:
E agora conseguimos as duas relações. Portanto,
Passo 3
Agora, temos que maximizar e minimizar os valores de e . Eles ocorreram nos vértices do eixo maior, isto é, quando e .
Nestas coordenadas de , teremos o valor máximo e mínimo .
Resposta
- O valor máximo será e o mínimo .