Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 21a
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole:
- Os vértices são e e os focos, e .
- Os vértices são e e as assíntotas tem equações e .
- Os focos são e e a amplitude focal .
- Os focos são e e as assíntotas tem equações e .
- O ponto pertence à hipérbole, e as assíntotas tem equações e .
- Os focos estão no eixo , as assíntotas tem equações e , e o eixo conjugado mede 8.
Passo 1
A equação reduzida de uma hipérbole centrada na origem é da forma:
O centro da hipérbole é no ponto médio entre os dois vértices. Portanto,
Portanto, a hipérbole realmente está centrada na origem! Além disto, como os vértices estão no eixo , sabemos então que e . Logo,
Passo 2
Vamos descobrir agora quem são esses e .
Os vértices da hipérbole no eixo e centrada na origem são dados por . Relacionando com o valor dado na questão, temos .
Agora, só nos resta descobrirmos o valor de . Para isto, vamos utilizar a relação dos focos.
Sabemos que os focos estão em , comparando com a sua posição, temos .
Mas como calculamos o valor de para a hipérbole? Ele é dado pela seguinte expressão:
Portanto,
Portanto, a hipérbole é: