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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 1.1 - Ex. 4

Verifique que a função constante a 3 é combinação linear de g t = 5 t a n 2 t   e h t = 2 c o s 2 ( t ) .

Passo 1

Fala aí rapaziada, tudo de boa? Bora resolver mais um exercício de álgebra linear.

Esse exercício pode parecer meios assustador principalmente por conta das funções trigonométricas, mas é bem tranquilo.

Vamos em primeiro lugar tratar os dados, começando pela função h(t), se você lembrar das propriedades trigonométricas, vai ver que s e c 2 t = 1 c o s 2 ( t ) e nesse caso, basta multiplicar por dois toda expressão que tudo se resolve.

Por isso vamos usar h t = 2 s e c 2 ( t ) .

Para a tangente, vamos tentar usar uma propriedade para nos ajudar a simplificar a conta.

Temos uma propriedade que diz t a n 2 t + 1 = s e c 2 ( t ) , então para nosso caso vamos usar g t = 5 ( s e c 2 t - 1 )

Passo 2

Beleza então, agora que tratamos os dados vamos começar a cair de cara no exercício, vamos montar o sistema para ver se é CL ou não.

3 = 5 a s e c 2 t - 1 + 2 b s e c 2 t

3 = - 5 a + 5 a s e c 2 t + 2 b s e c 2 t

3 = - 5 a + s e c 2 ( t ) ( 5 a + 2 b )

Agora com a equação montada basta encontrar o valor dos escalares

Passo 3

Teremos então o seguinte sistema

3 = - 5 a 0 = 5 a + 2 b

Note que podemos obter que a = - 3 5

E substituindo na segunda equação teremos então

0 = 5 - 3 5 + 2 b 0 = - 3 + 2 b → 3 = 2 b b = 3 2

Resposta

a = - 3 5

b = 3 2

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