Base e Dimensão
Produzido por Bruno PestanaTeoria
Vamos continuar falando sobre equações paramétricas e espaços gerados...
Será que todo conjunto de vetores que geram um espaço são uma base? O que um conjunto de vetores precisa ser para ser uma base?
Imagina que estamos no espaço e queremos definir o plano .
Nesse caso vamos chamar o plano de plano .
Posso representar através de vetores como já tínhamos estudado, por exemplo:
Certo?? Esses vetores geram o plano .
Quando multiplicamos esses vetores por um escalar, não alteramos a direção deles. Por exemplo, se multiplicarmos os vetores por 2 teríamos:
Esses novos vetores continuam a gerar .
Agora de somarmos esses dois vetores e acrescentarmos no também gerarmos o mesmo plano .
Ok, mas porque falei disso tudo? Desse jeito percebemos que adicionando um vetor combinação linear dos outros ou pegando múltiplos dos vetores anteriores, não altero o espaço que quero gerar. Vamos dar uma olhada nos gráficos pra conseguir ver isso melhor:
O primeiro representa o espaço gerado pelo conjunto e o segundo o espaço gerado pelo conjunto Conseguem ver que são iguais? Ambos são o plano .
Podemos achar infinitos conjuntos que geram meu espaço. Vou dar mais alguns exemplos:
Deu pra entender né? Hahaha.
Nosso objetivo aqui é estudar alguns desses conjuntos que geram espaços: As Bases.
Base
Base é um conjunto de elementos do espaço vetorial. De Todos os exemplos lá de cima quais deles são bases?
Para ser uma Base, o conjunto de vetores precisam seguir duas regras:
- Gerar o espaço
- Ser LI
Ou seja, as bases são os conjuntos Linearmente Independentes de vetores que geram o espaço!
Por exemplo:
é um conjunto de vetores LI que geram o plano , logo é uma base!
O mesmo acontece com também é uma base de .
Se olharmos para temos que o vetor que é uma combinação linear dos dois primeiro logo LD. Então não é uma base de apesar de gerar o espaço , como vimos anteriormente.
Dimensão
Todo espaço é gerado por um número mínimo de elementos. Ao número mínimo de vetores que geram um espaço damos o nome de dimensão do espaço. Por exemplo:
Vamos voltar lá a um dos conjuntos geradores do plano
Vemos que com 2 vetores consigo gerar o plano que eu quero.
Agora e se eu adicionar um vetor?
Conseguimos ver que com 3 vetores o espaço que eu gero continua o mesmo!
E se eu tirar dois vetore?
Opa!! Agora, com 1 vetor, meu espaço já não é o mesmo. Não consigo gerar o plano com apenas 1 vetor, gero apenas o eixo
Conseguiram entender agora? O número mínimo para gerar o plano é . Falamos que a dimensão desse espaço é :
Tá mas pra que serve isso? E se eu te perguntar se o conjunto é base do ?
Conseguimos descobrir facilmente que é um conjunto mas será que é um conjunto gerador de O que um conjunto precisa para ser conjunto gerador? Se descobrimos qual a dimensão do espaço podemos saber qual o número mínimo de vetores para se ter uma base.
O espaço tem dimensão 3. Logo para se ter uma base, precisamos de no mínimo três vetores linearmente independentes.
Esse meu conjuntoé LI e também tem 3 elementos então é uma base de .
Lembrando que se eu tiver mais que isso, continuo tendo um conjunto gerador, mas não vai ser uma base pois algum vetor vai ser necessariamente uma combinação linear dos outros.
Uma outra forma de pensar em dimensão é como o número de vetores na base de um espaço!
Agora, pra terminar, vamos aprender umas coisas importantes sobre base e dimensão:
- Espaços compostos por polinômios e matrizes também tem bases e portanto dimensões.
- A base canônica de um espaço é aquela mais “simples”. Por exemplo, no é essa: formada apenas por e , os próprios vetores dos eixos.
- Não podemos ter um espaço de maior dimensão que o próprio espaço em que os vetores geradores estão contidos. Por exemplo, não conseguimos gerar nenhum espaço de dimensão maior que 3 com vetores do ,ou seja, com 3 coordenadas.