Teoria

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Vem com a gente aprender sistemas lineares e como resolvê-los.

Sistema Linear

Um sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações, com duas ou mais incógnitas, nas quais só estão envolvidas operações básicas como soma, substração, multiplicação e divisão.

Um exemplo de sistema linear é esse aqui:

Um exemplo de sistema linear
Um exemplo de sistema linear

A resolução de sistemas lineares é uma tarefa comum nas áreas das ciências da natureza e da matemática, por esse motivo é bem importante que a gente saiba resolver um sistema linear.

Representação Matricial

Antes da gente focar em como resolver o sistema, vamos entender como a gente pode representar um sistema linear usando as matrizes.

O sistema linear pode ser escrito da seguinte forma:

Representação matricial de um sistema linear
Representação matricial de um sistema linear

Vamos entender com calma isso aí. Vamos pegar como exemplo aquele sistema linear que vimos lá no início.

Exemplo de sistema linear
Exemplo de sistema linear

O vetor de incógnitas para esse sistema será:

Vetor de incógnitas
Vetor de incógnitas

A matriz de coeficientes, , será:

Matriz de coeficientes
Matriz de coeficientes

E o vetor de resposta, , será:

Vetor de resposta
Vetor de resposta

Essas duas formas de representar o sistema são equivalentes:

Sistema linear representado de duas maneiras equivalentes
Sistema linear representado de duas maneiras equivalentes

Há uma outra matriz importante, que chamamos de matriz aumentada. Ela é quase igual à matriz de coeficientes, só que com uma coluna a mais. Nessa última coluna, à direita, colocamos o vetor b.

Veja só a matriz aumentada do sistema que mostramos acima:

Matriz aumentada
Matriz aumentada

Resolução de um sistema linear

A resolução de um sistema linear pode ser feita através de diversos métodos, mas vamos focar aqui no método de escalonamento, no qual usamos a representação matricial para resolver o problema.

Para entender esse método vamos pegar um exemplo:

Sistema linear na forma matricial
Sistema linear na forma matricial

O que vamos fazer é pegar a matriz aumentada desse sistema:

Matriz aumentada
Matriz aumentada

E escalonar ela.

📢 ALERTA: É muito muito muito importante que você saiba escalonar uma matriz para conseguir resolver o sistema linear por esse método. Então, se você ainda não sabe ou tem dúvidas corre pra essa página aqui: Escalonamento

Quando escalonamos essa matriz aumentada obtemos a seguinte matriz:

Matriz aumentada escalonada
Matriz aumentada escalonada

Agora, vamos pegar a matriz escalonada e trazer de volta para a representação em equações. Desse jeito aqui:

Passando da forma matricial para a forma de equacionamento
Passando da forma matricial para a forma de equacionamento

Agora podemos pegar a equação E substituir na equação :

Substituindo a equação
Substituindo a equação

Veja que tanto quanto estão em função de , então podemos escrever nosso vetor de incógnitas, que é o que queremos encontrar ao resolver um sistema linear, em função de , assim:

Vetor de incógnitas solução do sistema linear
Vetor de incógnitas solução do sistema linear

E prontinhos resolvemos nosso sistema linear.

Tranquilo não é?

Uma última observação importante sobre os sistemas lineares. Quando o vetor é um vetor nulo, ou seja, todas as suas componentes são zero, como podemos ver aqui embaixo:

Vetor nulo
Vetor nulo

dizemos que o sistema linear é homogêneo.

Fechamos aqui nosso papo de hoje. Praticar é o que você deve fazer agora, por isso eu vou deixar aqui em baixo um vídeo de um exercício resolvido passo-a-passo, de modo que você consegue entender muito bem tudo que precisa fazer para resolver o exercício e mandar super bem na prova. Confere aí 👇🏾

Exercício em vídeo

Confere esse exercício em vídeo, no qual a resolução é feita passo-a-passo junto com você. Aproveita 😉

Resolução de um sistema linear

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