Relacionando Núcleo com Espaço Coluna

Produzido por Bruno Pestana
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Teoria

Relacionando Espaço Linha e Espaço Coluna

Antes de ver a relação entre núcleo e imagem de uma matriz, te pergunto: O que seria o espaço linha??? Bom... é a mesma ideia do espaço coluna:

Espaço linha: O espaço-linha de uma matriz A é o espaço gerado pelos vetores linha dessa matriz.

Exemplo:

O espaço-linha da matriz A = 1 0 2 1 é:

s p a n { ( 1,0 ) ,   ( 2,1 ) }

Vamos relacionar tudo que aprendemos com a matriz transposta.

  • O espaço linha de uma matriz A é igual ao espaço coluna da transposta ( A T )
  • O espaço coluna (ou imagem) de uma matriz A é igual ao espaço linha da transposta ( A T )

  • O espaço linha e o espaço coluna de uma matriz A m × n possuem a mesma dimensão.
  • O posto de A é igual a dimensão de seu espaço linha

Uma outra consequência, desses dois últimos fatos é que o posto de uma matriz é a dimensão tanto do espaço coluna quanto do espaço linha, afinal suas dimensões são iguais não é mesmo?

E como acho uma base para o espaço-linha?????

É só escalonar normalmente XD.

Tá, mas e o espaço nulo de A e o espaço nulo de A T ??

Não tem nada em comum!

Teorema do Núcleo-Imagem

Esse teorema é muito importante e muito fácil de aprender e vai ser usado durante o curso todo praticamente, então se liga no que tá escrito ai embaixo!

Considere uma matriz A m × n , sendo n o número de colunas e m o de linhas, então:

dim ⁡ N u c A + dim ⁡ I m A = n

Podemos escrevê-lo de outra forma:

dim ⁡ N u c A + p o s t o ( A ) = n

É, eu sei... mas fica tranquilo, que é muito fácil de por em prática esse teorema aí.

Um exemplo: será que existe uma matriz A 11 × 11 de forma que posto A = d i m ⁡ ( Nuc A ) ?

Vamos lá. Se k é o valor do posto de A , então

dim ⁡ Nuc A = k

k + k = n ,

Onde n é o número de colunas da matriz.

Mas n = 11 . Então:

2 k = 11

O que é impossível, pois não existe dimensão fracionária!!!!

Logo essa matriz que sugeri não existe.

Teorema do Núcleo-Imagem