Relacionando Núcleo com Espaço Coluna
Teoria
Relacionando Espaço Linha e Espaço Coluna
Antes de ver a relação entre núcleo e imagem de uma matriz, te pergunto: O que seria o espaço linha??? Bom... é a mesma ideia do espaço coluna:
Espaço linha: O espaço-linha de uma matriz é o espaço gerado pelos vetores linha dessa matriz.
Exemplo:
O espaço-linha da matriz é:
Vamos relacionar tudo que aprendemos com a matriz transposta.
- O espaço linha de uma matriz é igual ao espaço coluna da transposta
- O espaço coluna (ou imagem) de uma matriz é igual ao espaço linha da transposta
- O espaço linha e o espaço coluna de uma matriz possuem a mesma dimensão.
- O posto de é igual a dimensão de seu espaço linha
Uma outra consequência, desses dois últimos fatos é que o posto de uma matriz é a dimensão tanto do espaço coluna quanto do espaço linha, afinal suas dimensões são iguais não é mesmo?
E como acho uma base para o espaço-linha?????
É só escalonar normalmente XD.
Tá, mas e o espaço nulo de e o espaço nulo de ??
Não tem nada em comum!
Teorema do Núcleo-Imagem
Esse teorema é muito importante e muito fácil de aprender e vai ser usado durante o curso todo praticamente, então se liga no que tá escrito ai embaixo!
Considere uma matriz , sendo o número de colunas e o de linhas, então:
Podemos escrevê-lo de outra forma:
É, eu sei... mas fica tranquilo, que é muito fácil de por em prática esse teorema aí.
Um exemplo: será que existe uma matriz de forma que ?
Vamos lá. Se é o valor do posto de , então
Onde é o número de colunas da matriz.
Mas . Então:
O que é impossível, pois não existe dimensão fracionária!!!!
Logo essa matriz que sugeri não existe.
Teorema do Núcleo-Imagem
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração própria
Encontre uma base para o espaço linha e coluna da matriz abaixo e de a dimensão do núcleo.
Passo 1
Bom, vamos começar achando uma base para o espaço linha, assim basta que escalonemos a matriz como sempre fizemos.
Como podemos ver, nenhuma linha acabou se anulando e portanto uma possível base se para o espaço linha é:
E com isso já podemos dizer a dimensão do núcleo! Sabemos que a dimensão do espaço linha é , que é igual a do espaço coluna (ou imagem), então usando o teorema núcleo imagem:
Sendo o número de colunas. Como e :
Passo 2
Agora só falta achar uma base para o espaço coluna! Vamos escalonar a sua transposta!
Assim, uma possível base para o espaço coluna de é:
Resposta
Base do espaço linha:
Base do espaço coluna:
Exercício Resolvido #2
Elaboração própria
Seja uma matriz , e sua forma escalonada. Marque a alternativa verdadeira:
- Nenhuma das alternativas acima.
Passo 1
Letra a)
Sabemos que é a forma escalonada de , logo e são equivalentes. Se as matrizes são equivalentes, então os sistemas e são equivalentes. Como o núcleo é a solução do sistema e esse é equivalente ao sistema , podemos dizer que os seus núcleos são iguais e portanto a letra a) é falsa.
Letra b)
Embora e sejam equivalentes, isso não implica que seus espaços colunas sejam iguais, que é o que está escrito. Portanto a letra b) é falsa.
Passo 2
Letra c)
Sabemos que a imagem da transposta de é a mesma coisa que o espaço linha de . Também sabemos que para achar uma base para o espaço linha basta escalonarmos a matriz, já que o que queremos achar é algum vetor que é uma combinação linear dos demais. Então a imagem da transposta é exatamente o espaço linha de . Mas não esta escrito isso na letra c)!! Calma, vamos analisar calmamente. Podemos ver que os vetores geradores são múltiplos dos vetores do espaço linha de
Portanto é a mesma coisa! E assim, podemos ver que a letra c) é verdadeira
Resposta
Letra c)
Exercício Resolvido #3
Elaboraçao própria
Seja uma matriz com
. Marque a alternativa verdadeira:
Passo 1
Letra
Nessa temos que achar a dimensão do núcleo de , sendo que só nos foi dado informações sobre a atransposta. Sabendo que é igual ao espaço gerado indicado, utilizando o teorema do núcleo e imagem podemos ver que:
Sendo assim, sabemos que o espaço coluna de é igual ao espaço linha de . E também sabemos que a dimensão do espaço linha e coluna de uma mesma matriz são iguais, logo:
E pelo teorema do núcleo imagem sabemos que:
Assim, podemos ver que a letra é falsa.
Passo 2
Usando as informações achadas na letra , já sabemos que e assim podemos descartar letra .
Também sabemos que o posto é igual ao número de linhas não nulas de uma matriz, após ser escalonada. Sendo assim, como o posto é igual a dimensão do espaço coluna da matriz, também podemos descartar a letra .
Agora por eliminação a correta é a letra , entretanto já tínhamos achado a resposta pois ao falar que
Sabemos que o espaço coluna é igual a imagem de , então já tinha achado que
Resposta
Letra
Exercício Resolvido #4
Livro Álgebra Linear com Aplicações 10 ed, Howard Anton e Chris Rorres, Capitulo 4.7, verdadeiro/falso
Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.
Considere uma matriz elementar , uma matriz que ao multiplicar uma outra matriz , aplica uma operação elementar nela. Por exemplo, se você fizer , é como se tivesse trocado duas linhas de lugar, por exemplo.
- O espaço gerado de é o espaço coluna da matriz cujos vetores coluna são
- O espaço coluna de uma matriz é o conjunto solução de
- O conjunto de vetores linha não nulos de uma matriz é uma base do espaço linha de .
- Se for uma matriz elementar e uma matriz , então o espaço nulo de é igual ao espaço nulo de
- Se for uma matriz elementar e uma matriz , então o espaço linha de é igual ao espaço linha de
- Se for uma matriz elementar e uma matriz , então o espaço coluna de é igual ao espaço coluna de
Passo 1
Letra a)
O espaço coluna de uma matriz que possui os vetores coluna e exatamente o espaço gerado desses vetores, por definição. Verdadeira
Letra b)
Falso. Além de sabermos a definição de espaço coluna e vermos que é diferente, vamos pegar um exemplo:
Se o espaço coluna fosse esse conjunto solução, os vetores teriam duas coordenadas apenas, enquanto sabemos que ele é o espaço gerado dos vetores coluna da matriz, que possuem coordendas. O que seria um absurdo! Além disso, sabemos que o sistema tem solução quando pertence ao espaço gerado das colunas da matriz, ou seja, o espaço coluna e assim seria de novo uma incoerência, pois que possui coordeandas iria pertencer a um espaço gerado de vetores com coordenadas!
Passo 2
Letra c)
Vamos pegar por exemplo uma mátria aleatória.
Se seguirmos o enunciado uma base para o espaço linha seria:
O que é mentira pois temos dois vetores múltiplos. Logo a afirmativa é falsa. O correto seria falar que o conjunto dos vetores linha não nulos da matriz , APÓS SER ESCALONADA, pois já teria sido eliminado os vetores que eram dos demais.
Letra d)
O espaço nulo é a solução do sistema . Logo como matrizes equivalentes, ou seja após serem escalonadas, possuem a mesma solução de um sistema então o espaço nulo de é igual ao de . Verdadeiro.
Passo 3
Letra e)
Para achar uma base para o espaço linha devemos aplicar várias operações elementares na matriz e assim os vetores resultantes formam a nossa base. Entretanto, se soubéssemos antes quais vetores eram dos demais já poderíamos ter descoberto a base. Logo, após uma operação elementar a matriz continua tendo o mesmo espaço linha da matriz original.
Exemplo:
Forma escalonada:
O espaço linha seria:
Mas poderíamos ter descoberto antes, pois já sabíamos que o vetor era descartável e poderíamos ter escolhido a base:
Já que:
Verdadeira
Passo 4
Letra f)
Vamos usar o exemplo anterior:
Após uma operação elementar:
Espaço coluna de :
Espaço coluna de :
Como podemos ver os espaços gerados são diferentes e portanto os espaços colunas também logo a afirmativa é falsa. Lembre que para achar uma base para o ESPAÇO COLUNA deve-se escalonar .
Resposta
V, F, F, V, V, F