Relacionando Núcleo com Espaço Coluna
Produzido por Bruno PestanaTeoria
Relacionando Espaço Linha e Espaço Coluna
Antes de ver a relação entre núcleo e imagem de uma matriz, te pergunto: O que seria o espaço linha??? Bom... é a mesma ideia do espaço coluna:
Espaço linha: O espaço-linha de uma matriz é o espaço gerado pelos vetores linha dessa matriz.
Exemplo:
O espaço-linha da matriz é:
Vamos relacionar tudo que aprendemos com a matriz transposta.
- O espaço linha de uma matriz é igual ao espaço coluna da transposta
- O espaço coluna (ou imagem) de uma matriz é igual ao espaço linha da transposta
- O espaço linha e o espaço coluna de uma matriz possuem a mesma dimensão.
- O posto de é igual a dimensão de seu espaço linha
Uma outra consequência, desses dois últimos fatos é que o posto de uma matriz é a dimensão tanto do espaço coluna quanto do espaço linha, afinal suas dimensões são iguais não é mesmo?
E como acho uma base para o espaço-linha?????
É só escalonar normalmente XD.
Tá, mas e o espaço nulo de e o espaço nulo de ??
Não tem nada em comum!
Teorema do Núcleo-Imagem
Esse teorema é muito importante e muito fácil de aprender e vai ser usado durante o curso todo praticamente, então se liga no que tá escrito ai embaixo!
Considere uma matriz , sendo o número de colunas e o de linhas, então:
Podemos escrevê-lo de outra forma:
É, eu sei... mas fica tranquilo, que é muito fácil de por em prática esse teorema aí.
Um exemplo: será que existe uma matriz de forma que ?
Vamos lá. Se é o valor do posto de , então
Onde é o número de colunas da matriz.
Mas . Então:
O que é impossível, pois não existe dimensão fracionária!!!!
Logo essa matriz que sugeri não existe.