Núcleo e Injetividade de uma Matriz

Isso te lembra alguma coisa? O termo não te lembra um sistema linear? E o que acontece quando igualamos ele a zero mesmo? Ahh sim, chamamos ele de sistema linear homogêneo. Então calcular o núcleo de uma matriz, é só achar a solução do sistema linear homogêneo daquela matriz?? SIM!!

Exemplo 1:

Calcule o núcleo da matriz abaixo:

Basta resolver o sistema:

Sendo:

Assim o núcleo da matriz é o vetor solução

Exemplo 2:

Calcule o núcleo da matriz abaixo:

Achar o núcleo é só achar a solução do sistema homogêneo:

Como a segunda equação era igual a primeira, podemos eliminá-la. Sedo assim, o núcleo fica:

Lembra, que o sistema homogêneo só pode ter a solução trivial (vetor nulo) ou infinitas soluções (um espaço gerado)? Então, foi exatamente esses dois exemplos. No primeiro caso, a dimensão do Núcleo será 0 e no segundo será maior que 0, além disso, podemos chamar essa dimensão do núcleo de nulidade. Esse termo não é muito utilizado, mas é sempre bom saber ;D.

Injetividade

Se liga naquele caso do exemplo . Então, quando você só encontrar o vetor nulo vamos chamar a matriz de injetiva, pode ser? Esse normalmente é um caso especial, e por isso damos esse nome.

Acho que você deve estar pensando, mas injetividade não era aquela parada de funções que:

Bom, mas a verdade é que uma matriz também pode ser considerada uma função e ai podemos aplicar todas essas coisas. Mas ficar verificando essa implicação ai em cima seria muito chato e trabalhoso. É por isso que existe um teorema que nos poupa muito trabalho!

Ele nos diz que se o núcleo é o vetor nulo ou se a dimensão dele for 0, então ela é injetiva, sacou? E é isso que vamos usar.

Teorema: Se , então a matriz é injetiva

Uma observação útil é que a matriz só pode ser injetiva se o número de linhas for maior ou igual ao número de colunas! Cuidado com esse pode, ele quer dizer que toda matriz injetiva obedece isso, mas nem toda matriz que obedece isso é injetiva.

Isso acontece porque nesse caso, o numero de equações é maior ou igual ao número de variáveis, dando a possibilidade( não é certo pois não sabemos se as equações são ) de termos 0 variáveis livres e portanto um espaço de dimensão nula como solução.

Relacionando isso com a solução do sistema associado à matriz temos que quando a matriz não é injetiva e portanto o sistema nunca possui solução única. Repare que nada impede que ele não tenha solução! Mas caso tenha, ela não será única.

Além disso, tenho um bizú que pode te ajudar também:

Seja uma matriz quadrada. São equivalentes os fatos abaixo:

• não é injetiva
• Colunas(ou linhas) de são
• não é inversível