Exercícios de Relacionando Núcleo com Espaço Coluna - Lista de Exercícios Resolvida

Seja uma matriz com

. Marque a alternativa verdadeira:

Encontre uma base para o espaço linha e coluna da matriz abaixo e de a dimensão do núcleo.

Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta.

Considere uma matriz elementar , uma matriz que ao multiplicar uma outra matriz , aplica uma operação elementar nela. Por exemplo, se você fizer , é como se tivesse trocado duas linhas de lugar, por exemplo.

1. O espaço gerado de é o espaço coluna da matriz cujos vetores coluna são
2. O espaço coluna de uma matriz é o conjunto solução de
3. O conjunto de vetores linha não nulos de uma matriz é uma base do espaço linha de .
4. Se for uma matriz elementar e uma matriz , então o espaço nulo de é igual ao espaço nulo de
5. Se for uma matriz elementar e uma matriz , então o espaço linha de é igual ao espaço linha de
6. Se for uma matriz elementar e uma matriz , então o espaço coluna de é igual ao espaço coluna de

Seja uma matriz , e sua forma escalonada. Marque a alternativa verdadeira:

4. Nenhuma das alternativas acima.

Considere as afirmativas:

1. tem solução única se e só se as colunas de são linearmente independentes.
2. tem solução para todo se e só se as linhas de são linearmente independentes.

e são verdadeiras.

e são falsas.

é verdadeira, mas é falsa.

é falsa, mas é verdadeira.

A matriz :

É bijetiva.

É sobrejetiva.

É injetiva.

Não é nem sobrejetiva, nem injetiva.

Assinale a alternativa FALSA:

Seja uma matriz e o núcleo de um espaço de dimensão . O sistema pode não ter solução.

Se sempre tem pelo menos uma solução então a única solução de é .

Seja uma matriz e o núcleo de um espaço de dimensão . O sistema pode não ter solução.

Se e tem o mesmo núcleo então a matriz é quadrada.

é uma matriz cujas colunas geram um espaço de dimensão igual a . Qual a dimensão do núcleo de ?

Seja uma matriz quadrada . Lembrar que . Pode-se afirmar que:

e .

e .

e .

e .

Considere três plano , , que se interceptam numa reta . Tomando o sistema linear formado pelas equações cartesianas destes planos, quais são os pontos e as nulidades da matriz de coeficientes e da matriz aumentada do sistema?

A matriz

poderia ser a matriz de coeficientes do sistema acima (item )? Como deveria ser a matriz de termos independentes, neste caso?

Seja A uma matriz cujas colunas geram um espaço de dimensão 3. A dimensão do núcleo de A é:

(a) 2

(b) 3

(c) 4

(d) 5

é uma matriz cujas colunas geram um espaço de dimensão igual a 3. Qual a dimensão do Núcleo de

a)

b)

c) 5

d)

é uma matriz cujas colunas geram um espaço de dimensão 1. Qual a dimensão do Núcleo de

(a)1

(b)2

(c)3

(d)4

Seja , onde

Selecione a alternativa INCORRETA:

(a) Se é sobrejetiva, então é bijetiva

(b) Se então não é sobrejetiva

(c) Se é injetiva, então

(d) Se então é injetiva

Seja uma matriz :

(a) É possível que seja a união de duas retas distintas de e seja um plano de

(b) É possível que seja e seja um subespaço de dimensão 4

(c) É possível que seja uma reta de e seja um plano de

(d) É possível que seja um plano de e seja um plano de

Considere as afirmativas abaixo:

I - Se é uma matriz injetiva, então .

II - Se é uma matriz sobrejetiva, então .

(a) é falsa e é verdadeira.

(b) é verdadeira e é falsa.

(c) Ambas são verdadeiras.

(d) Ambas são verdadeiras.

Considere a matriz

(a) e

(b) e

(c) e

(d) e

Considere as afirmativas abaixo sobre , um sistema linear com duas equações incompatíveis.

1. não é sobrejetiva
2. pode ser injetiva

Ambas são verdadeiras

Ambas são falsas

é falsa e é verdadeira

é verdadeira e é falsa

Seja uma matriz tal que sua terceira linha é igual à soma das duas primeiras linhas. Assinale a alternativa VERDADEIRA:

A terceira coluna de é a soma das duas primeiras colunas de .

As colunas de podem ser linearmente independentes.

O sistema sempre tem solução.

O núcleo de tem dimensão maior que zero.

Seja uma matriz cujo núcleo é e cuja imagem é . Se a entrada da matriz é igual a , antão é:

a) -2

b) -3

c) -4

d) -6

e) Não sei.

Seja , e , não nulo, tal que . Considere as afirmativas abaixo:

1. Existe , não nulo, tal que
2. Existem tal que é um conjunto

Ambas são verdadeiras

é verdadeira e é falsa

Ambas são falsas

é falsa e é verdadeira

Considere as seguintes afirmações:

Se a matriz aumentada do sistema tiver mais colunas linearmente independentes do que a matriz , então o sistema não tem solução.

Se a matriz aumentada do sistema tiver mais linhas linearmente independentes do que a matriz , então o sistema não tem solução.

Qual das opções abaixo é CORRETA?

A afirmativa é verdadeira e é falsa.

A afirmativa é falsa e é falsa.

A afirmativa é verdadeira e é verdadeira.

A afirmativa é falsa e é verdadeira.

Seja uma matriz com apenas duas colunas linearmente independentes. Então o conjunto solução do sistema homogêneo

é um plano de

é um plano de

é uma reta de

é uma reta de

Seja uma matriz . Considere as afirmativas abaixo:

1. pode ser sobrejetiva somente se
2. pode ser injetiva somente se

Ambas são verdadeiras

Ambas são falsas

é verdadeira e é falsa

é falsa e é verdadeira

Seja uma matriz tal que o conjunto-solução de é e o de é . Estas informações não nos permitem concluir que:

O conjunto-solução de é .

O núcleo de é

O conjunto-solução de é o conjunto vazio.

A imagem de contém também vetores que não são gerados por e .

Seja uma matriz , com , tal que a dimensão da imagem de é igual a .

1. nem sempre tem solução.
2. Quando tem solução, a solução não é única.

e são verdadeiras.

é falsa, mas é verdadeira.

e são falsas.

é verdadeira, mas é falsa.

Seja uma matriz , com . Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

Se , então dimensão de

Se , então dimensão de

Se , então a dimensão de

Se , então dimensão de

Dado e sabendo que o Núcleo tem dimensão igual a , qual o valor de ?

é uma matriz cujas colunas geram um espaço de dimensão igual a . Qual é a dimensão do Núcleo de ?

Seja uma matriz quadrada:

1. Se é injetiva, então é sobrejetiva
2. Se é invertível, então pode não ser invertível

Ambas são falsas

Ambas são verdadeiras

é verdadeira e é falsa

é falsa e é verdadeira

A transposta de é uma matriz , cujas linhas geram um espaço de dimensão a . Qual a dimensão do Núcleo de .

Seja uma matriz cujo núcleo tem dimensão . Pode-se afirmar que:

A imagem de tem dimensão .

tem infinitas soluções para todo .

é a única solução de .

As linhas de são linearmente dependentes.

Sejam e vetores-coluna não nulos de . Qual a dimensão da imagem da matriz

Seja uma matriz e uma forma escalonada de . Se possui pivôs, então:

A dimensão do Núcleo de é

A dimensão da Imagem de é

é verdadeira e é falsa.

é verdadeira e é verdadeira.

é falsa e é falsa.

é falsa e é verdadeira.

Seja uma matriz sobrejetiva, cujo núcleo tem dimensão e cuja imagem tem dimensão . Quais as dimensões da matriz ?

é

é

é

é

Seja uma matriz tal que existem dois vetores distintos e satisfazendo . Podemos SEMPRE afirmar que:

1. A dimensão do núcleo de é maior que
2. A dimensão da imagem de é menor que

e são falsas

é falsa e é verdadeira

é verdadeira e é falsa

e são verdadeiras

Suponha que a matriz e o vetor são tais que a solução geral de tem duas variáveis livres. Se podemos afirmar que:

A solução geral de pode ter apenas uma variável livre.

A solução geral de sempre tem duas variáveis livres.

pode não ter solução.

pode ter uma única solução.

Considere as afirmativas abaixo:

Existe uma matriz cujo núcleo é a reta e cuja imagem é o plano

Existe uma matriz cujo núcleo é a reta e cuja imagem é a reta

é verdadeira e é verdadeira.

é verdadeira e é falsa.

é falsa e é verdadeira.

é falsa e é falsa.

Seja uma matriz . é a dimensão da imagem de . Considere as afirmativas:

1. se e somente se

A afirmativa é verdadeira e a é falsa

A afirmativa é falsa e a é falsa

A afirmativa é verdadeira e a é verdadeira

A afirmativa é falsa e a é verdadeira

é uma matriz cujas colunas geram um espaço de dimensão igual a . Qual a dimensão do Núcleo de ?

Seja .

Então, a dimensão do núcleo de é igual a:

Seja uma matriz . Sabe-se núcleo de tem dimensão , o núcleo de tem dimensão e o espaço gerado pelas colunas de tem dimensão . Os valores de e são respectivamente:

(a) e

(b) e

(c) e

(d) e

(e) Não sei.

Classifique em verdadeira ou falsa as afirmativas abaixo para uma matriz , , onde :

1. Sempre existe um subconjunto linearmente independente de que gera o núcleo de .
2. A imagem de é um subconjunto de .

é verdadeira e é falsa

é verdadeira e é verdadeira

é falsa e é verdadeira

é falsa e é falsa

Considere a matriz e sua forma totalmente escalonada:

Não podemos afirmar que:

é base da imagem de .

é base da imagem de .