Exercícios Resolvidos de Apoios Elásticos em estruturas com deslocabilidade externa

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Enunciado

Para a viga abaixo com uma mola vertical em B, determine a deformação vertical na mola.

u s e   E J = 3   .   10 5   k N m 2

K = 2   .   10 4 k N / m

Passo 1

Pela nossa teoria temos que lembrar que o travamento da estrutura é feito levando em conta as deslocabilidades.

  • Deslocabilidade Interna
    • Temos um engaste em A e C logo nesses pontos não precisamos por chapas de travamento da nossa estrutura.
    • No ponto B temos uma rótula, e sabemos que todo nó com rótula não precisa de chapa também.
    • Com isso não temos deslocabilidades internas
  • Deslocabilidade Externa
    • Os pontos A e C são engastes, logo, também não tem deslocabilidade externa
    • O ponto B é uma mola, logo, consideramos ela como um ponto propício a se deslocar, e com isso precisamos travar ele.
    • E pra fazermos isso precisamos trocar a nossa mola por um apoio do primeiro gênero (lembrando ainda que se trata de uma mola e por isso teremos que fazer um acréscimo em algum momento)

Com isso teremos que:

Passo 2

Determinando a deslocabilidade e o que ela é precisamos determinar o que é β 10 , e sabemos que como se trata de um apoio do primeiro gênero, iremos precisar da reação de apoio.

Para definirmos a reação de apoio precisamos do passo a passo completo.

  • Primeiro determinamos a fórmula
  • E isso é bem simples, a barra AB possui um engaste em A e um apoio em B, logo, engaste e apoio. E para a barra BC acontece a mesma coisa. E como em ambas temos uma carga concentrada no meio das vigas, a nossa fórmula será.

  • Segundo definimos os momentos na nossa estrutura
  • Aplicando na nossa estrutura teremos que:

  • Determinando as reações de apoio
  • Lembre-se que como temos um apoio do primeiro gênero, precisamos determinar a reação de apoio, dessa maneira teremos que:

    Perceba que a reação deu de baixo pra cima, que é o nosso sentido positivo. E também podemos ver que temos 2 reações de apoio V B na mesma direção, sendo assim teremos que:

    β 10 = 2 V B = 2   .   6,25 = 12,5

    Passo 3

    Agora só precisamos do valor de β 1 1 . Como se trata de um apoio do primeiro gênero só precisamos deslocar ele de uma unidade no sentido que definimos como positivo.

    Lembre-se que quando usamos deslocamentos impostos usamos a seguinte fórmula:

    Deslocando a nossa viga teremos que:

    Podemos também dividir tudo por EJ, e lembrar que estamos usando ρ = 1 , assim a nossa estrutura passa a ser:

    Como o nosso objetivo são as reações de apoio, vamos determinar elas:

    Como temos duas reações de apoio, pra cima, que é o sentido positivo, podemos determinar muito facilmente o valor de β 11 , sendo assim teremos que:

    β 1 1 = 2 V B = 2   .   0,375 = 0,75

    MAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAS, não se esqueça que temos uma mola, que também segue algumas regrinhas que temos que ficar bem atentos na hora de resolver elas.

  • Primeiro sabemos que a força na mola fica no mesmo sentido da deformação, ou seja, pra cima.
  • Também sabemos que o valor dessa força segue a seguinte fórmula:

F = k δ

E esses dois valores nos temos, pois sabemos que:

k = 2   .   10 4   k N / m

δ = 1

F = 2   .   10 4 . 1 = 20000

Mas uma coisa muito importante que devemos lembrar é que dividimos todos os termos da nossa estrutura por EJ, ou seja, a nossa amiga mola não pode fugir a essa regra.

Dessa maneira teremos que:

F = 20000 E J = 20000 3 .   10 5 = 0,067

Essa contribuição devemos somar ao nosso fator β 11

β 11 = 0,75 + 0,067 = 0,817

Passo 3

Resolvendo o nosso sisteminha, teremos que:

β 10 + β 1 1 ∆ 1 = 0

12,5 + 0,817 ∆ 1 = 0

∆ 1 = - 15,3

Mas lembre-se que a gente dividiu todos os termos por EJ, ou seja, se quisermos definir a deformação final na mola, precisamos dividir o nosso ∆ 1 por EJ

∆ m o l a = ∆ 1 E J = - 15,3 3 .   10 5 = - 5,1   .   10 - 5 m = 0,0 51 m m

Resposta

∆ m o l a = 0,051 m m