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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 23

23. Considere a equação diferencial y ' = y sen ⁡ y + x com a condição inicial y 0 = 1 . Calcule y ' ( 0 ) , y ' ' ( 0 ) e y ' ' ' ( 0 ) . Utilizando esta informação calcule aproximadamente y ( 0.2 )

Passo 1

a) E aí meus caros!

Se liga só! A nossa equação é dada por...

y ' = y sen ⁡ y + x

Bom! E como vamos usar o método de Taylor de 3ª ordem com y 0 = 1 , então basta fazer as derivações e depois substituir.

Passo 2

Vamos começar com y ' ( 0 ) . Sabemos da fórmula de iteração que...

y ' = y sen ⁡ y + x

Sendo assim...

y ' 0 = 1 sen ⁡ 1 + 0

y ' 0 = 0,841471

Passo 3

Tirando a 2ª derivada, temos que...

y ' = y sen ⁡ y + x

y ' ' = sen ⁡ y + cos ⁡ y y ' + 1

Então, fazendo a substituição...

y ' ' = sen ⁡ y + cos ⁡ y y ' + 1

y ' ' ( 0 ) = sen ⁡ 1 + cos ⁡ 1 y ' ( 0 ) + 1

y ' ' ( 0 ) = 2.162722

Passo 4

Tirando a terceira derivada:

y ' ' ' = sen ⁡ y y ' + cos ⁡ y y ' + 1

y ' ' ' = y ' ' sen ⁡ y + cos ⁡ y y ' - sen ⁡ y y ' + cos ⁡ y y ' ' + 1

E depois substituindo...

y ' ' ' 0 = y ' ' ( 0 ) sen ⁡ 1 + cos ⁡ 1 y ' ( 0 ) - sen ⁡ 1 y ' ( 0 ) + cos ⁡ 1 y ' ' ( 0 ) + 1

y ' ' ' 0 = 1.748426

Passo 5

E a nossa fórmula de iteração vai ficar então, dada por...

y n + 1 = y n + y n ' h + y n ' ' h 2 2 + y n ' ' ' h 3 6

Substituindo os valores obtidos antes...

y 1 = y 0 + y 0 ' h + y 0 ' ' h 2 2 + y 0 ' ' ' h 3 6

y 1 = 1 + 0.841471 ⋅ 0.2 + 2.162722 ⋅ 0.2 2 2 + 1.748426 ⋅ 0.2 3 6

y 1 = 1.213880

E então, obtemos que...

y 0.2 = 1.213880

Resposta

y ' 0 = 0,841471

y ' ' ' 0 = 1.748426

y 0.2 = 1.213880

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Apresente a fórmula de iteração para o método de Taylor de· ordem 2 aplicado ao PVI abaixo: sendo h = 0.1; verifique que y(x) = exp(-x) + x - 1 é solução do PVl; calcule um limitante superior para o e