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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 10

10. Seja o problema:

Interpolar a função s e n ( x ) sobre [ 0 , π 4 ] usando um polinômio de grau 2 e integrar a função neste intervalo, usando a regra de 1 3 de Simpson.

Qual deve ser o menor número de subintervalos em 0 , π 4 para se garantir um erro menor que 10 - 4 tanto na integração quanto na interpolação.

Passo 1

E aí galerinha! Presta atenção! O erro do método de 1 / 3 de Simpson é dado por...

E = - h 5 90 f 4 ξ ,   ξ ∈ 0 , π 4

E o limitante para o erro é dado por...

E = h 5 90 ⋅ max x ∈ 0 , π 4 ⁡ | f 4 x |

Passo 2

Temos que...

f x = sen ⁡ x

Tirando as derivadas:

f ' x = cos ⁡ x

f ' ' x = - sen ⁡ x

f ' ' ' x = - cos ⁡ x

f 4 x = sen ⁡ x

Passo 3

Quando x = 0 , temos que...

f 4 0 = 0

Quando x = π / 4 , temos que...

f 4 π 4 = 2 2

Logo;

max x ∈ 0 , π 4 ⁡ | f 4 x | = 2 2

Passo 4

E então, temos que...

E S ≤ n h 5 90 ⋅ max x ∈ 0 , π 4 ⁡ f 4 x < 10 - 4

E S ≤ n h 5 90 ⋅ 2 2 < 10 - 4

2 n h 5 180 < 10 - 4

Com h dado por...

h = π 4 - 0 n

h = π 4 n

Sendo assim...

2 n ⋅ π 4 n 5 < 10 - 4

2 π 5 4 5 ≤ 10 - 4 n 4

n ≥ 2 π 5 4 5 ⋅ 10 - 4 4

n ≥ 8

E finalmente obtemos nossa resposta!

Resposta

n ≥ 8

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No exercício abaixo, ache um intervalo em que se situa o erro de truncamento na aproximação do exercício 6, em que a integral é dada por: ∫ 2 10d x 1 + x ; n=8
Aproxime ∫ 0 π s e n ( x ) d x com três casas decimais pela regra de Simpson, com n = 6. Compare o resultado com aquele obtido no exercício 4, e observe que a regra de Simpson leva a resultados mais p
Aproxime a integral definida pela regra de Simpson com o valor indicado de n. Expresse o resultado com três casas decimais. ∫ - 1 2 0 d x 1 - x 2 Com n = 4.
Aproxime a integral definida pela regra de Simpson com o valor indicado de n. Expresse o resultado com três casas decimais. ∫ - 1 0 d x 1 - x Com n = 4.
Aproxime a integral definida pela regra de Simpson com o valor indicado de n. Expresse o resultado com três casas decimais. ∫ 0 1 d x x 2 + x + 1 Com n = 4.