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Enunciado

Cálculo Numérico - Ruggiero - Aspectos Teóricos e Computacionais- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 26

26. Verifique que, se lim k → ∞ ⁡ x k = α , onde x ( j + 1 ) = C x j + g , então α é solução de x = C x + g .

Passo 1

E aí, meus caros e caras aluninhos(as)!

Se liga só! Dependendo da forma da matriz C a sequência gerada pelo processo iterativo pode ou não convergir para a solução do sistema. Seja α a solução do sistema A x   =   b . Logo, α satisfaz

α = C α + g

Passo 2

Com isto, temos que...

x ( j + 1 ) - α = C ( x j + 1 - α )

Sendo o erro da iteração e k , dado por...

e k = x k - α

E através das propriedades de norma, temos que...

e k ≤ C ⋅ | e k - 1 |

e k ≤ C 2 | e k - 2 |

Logo, uma vez que a sequência { x k } converge para a solução do sistema α com base no seguinte limite...

lim k → ∞ ⁡ | e k | = lim k → ∞ ⁡ C k | e 0 | = 0

E também que...

lim k → ∞ ⁡ x k = α

Então, de fato α é a solução do nosso sistema!

Resposta

lim k → ∞ ⁡ x k = α

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