7.

a) Considerando o seguinte PVI

y ' = 0.04 y y 0 = 1000

E supondo conhecidos y 1 e y 2 , verifique que o método (2) do texto nos fornece y n + 1 explicitamente para y n + 1 .

b) Como você explica o resultado acima sendo ( 2 ) um método implícito?

Passo 1

E aí meus queridos(as)!

Se liga só! O método de Euler é um método explicito! Por isso, vamos utilizá-lo para resolver o seguinte problema abaixo...

y ' = 0.04 y y 0 = 1000

Temos então, a seguinte função...

f x n , y n = 0.04 y n

E consequentemente, chegamos até a seguinte equação de iteração...

y n + 1 = y n + 0.04 y n

y n + 1 = 1.04 y n

Passo 2

Agora presta atenção... Fazendo a primeira iteração, temos que...

y 1 = 1.04 ⋅ 1000

y 1 = 1040

Para a segunda iteração, teremos que...

y 2 = 1.04 ⋅ 1040

y 2 = 1081.6

Para a terceira, por sua vez...

y 3 = 1124.864

Ou seja, a partir de n ≥ 2 , já temos um valor mais claro de como será a nossa solução!

Passo 3

b) O fato da função de iteração ser bem simplesinha, dada apenas por...

y n + 1 = 1.04 y n

Apesar do método implícito depender de  y n + 1   dos dois lados da equação. Se a nossa função de iteração for simples o suficiente, podemos resolver a equação isolando o termo  y n + 1 .

Que no final das contas, como mostramos antes, é a mesma coisa que usar o método de Euler.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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