Mostre que se A satisfaz as hipóteses da decomposição L U então A se decompõe de maneira única no produto L D U , onde LeU são matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, ambas com 1 na diagonal, e D é matriz diagonal. Além disso, d e t ( A )=d 11 d 22. .. d n n .

3 3 1 0 - 2 14 3 0 0 - 5 3 7 8 - 5 3

Enunciado

Cálculo Numérico - Franco e Neide B - Cálculo Numérico- Ed: 1º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 6

Mostre que se satisfaz as hipóteses da decomposição então A se decompõe de maneira única no produto , onde são matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, ambas com na diagonal, e é matriz diagonal. Além disso, .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide ele pede para mostrar que se satisfaz as hipóteses da decomposição então A se decompõe de maneira única no produto , onde são matrizes triangulares inferior e superior, respectivamente, ambas com na diagonal, e é matriz diagonal. Além disso, .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então rapaziada nessa questão ele deseja mostrar que satisfaz as hipoteses de decomposição de sendo,

Tendo,

Ficando a matriz de fatores,

Ficando,

Logo,

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

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Seja A ,n×n , decomponível em L U . Sejam A i,i=1 ,2 , .. ., n , os menores principais de ordem i . Mostre que: u i i = ∆ i ∆ i - 1 ,i = 1,2 , … , n , Onde, ∆ i = det ⁡ A i , ∆ n = det ⁡ Ae∆ 0 = 1 .

Considere o sistema: 5 x 1 + 2 x 2 + x 3 = - 12 - x 1 + 4 x 2 + 2 x 3 = 20 2 x 1 - 3 x 2 + 10 x 3 = 3 a) Resolva-o usando decomposição L U . b) Calcule o determinante de A , usando a decomposição.

Resolver o sistema A x = b , onde:A = ([[2,3,-,1],[1,0,2],[0,3,-,1]]) ; x = ([[x_1],[x_2],[x_3]]) ; b = ([[4],[3],[2]]) usando a decomposição L U .

Aplicando-se o método da decomposição LU à matriz: A = … … 3 … 4 - 1 10 8 … - 3 12 11 0 … 0 10 obteve-se as matrizes: L = … 0 … … 2 … … … 3 0 … 0 0 … 1 … , U = … - 1 … 5 … 1 … - 2 … 0 3 - 4 0 … 0 10 P