Bombeamento
Teoria
Vamos aprender agora a utilizar as integrais para calcular um outro tipo de trabalho: o trabalho necessário para bombear líquido para um dado recipiente.
Definição
Para calcular o trabalho necessário para calcular todo ou parte de um líquido de um recipiente, podemos imaginar que, a cada instante, uma fatia infinitesimal de líquido é levantada. Nesse caso, da mesma forma que fizemos antes, escrevemos uma expressão para o trabalho em sua forma infinitesimal e depois integramos:
Ok. A força é feita no eixo que podemos estabelecer como sendo o eixo . Precisamos encontrar então uma expressão para que só dependa de . será minha variável de integração. Todas as outras variáveis devem ser constantes. Não podemos ter duas variáveis diferentes de integração.
Basicamente, para bombear um líquido para fora de um recipiente a uma velocidade constante, a força a ser feita equivale ao peso do líquido a ser bombeado para fora do recipiente, o que depende do volume de líquido a ser bombeado e de sua densidade. Basicamente, precisamos encontrar uma relação para o volume que deixe a expressão para o volume unicamente na variável de integração desejada.
Vamos fazer um exemplo??
Exemplo: O tanque da figura abaixo está cheio até do topo com um líquido cuja densidade é . Qual o trabalho realizado para bombear o líquido até a borda do tanque, a de altura?
Bom, considerando que a força realizada seja apenas suficiente para bombear o líquido a uma velocidade constante, ou seja, seja igual ao seu peso, temos:
A força é realizada ao longo do eixo e a distância em que ela puxa o líquido é de , concorda? Essa é a distância em que a força atua. Então podemos escrever:
Nesse caso, temos que achar uma expressão para em função de , nossa variável de integração. O peso do líquido é dado por:
Agora, observa que o volume varia ao longo do eixo , porque a área da seção transversal vai mudando. A forma de resolver isso é escrever o volume em sua forma infinitesimal. Para isso, vamos pensar em cada fatia infinitesimal de líquido. Nesse caso, temos:
O raio equivale ao valor de para cada fatia infinitesimal, então podemos escrever:
A relação entre e foi dada na figura:
Logo, podemos reescrever:
Sabemos que
Logo, em função de :
Sabendo que:
Substituindo:
Pronto! Agora tudo dentro da integral está em função de , nossa variável de integração. Todo o resto são constantes.
Pronto! A ideia nesse caso é essa: pensar na força para levantar o líquido. O mais difícil é colocar tudo em função da variável de integração. Mas aí é prática!!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, 487 – 23
Descrevemos o bombeamento do conteúdo de recipientes esféricos da mesma maneira que fazemos com outros reservatórios, com o eixo de integração ao longo do eixo vertical da esfera. Considere a figura a seguir e determine quanto trabalho será necessário para que um reservatório hemisférico, de raio , cheio de água, seja esvaziado ao se bombear seu conteúdo até uma altura acima do topo do reservatório. O peso específico da água é .
Passo 1
Novamente, temos um problema de bombeamento. De novo, vamos fazer a suposição de que a força realizada é suficiente apenas para bombear o líquido a uma velocidade constante, ou seja, nesse caso, a força de bombeamento é igual ao peso do líquido:
Essa força é realizada ao longo do eixo . A linha da altura de atuação do bombeamento vai da altura máxima, , até o nível de água, que se encontra numa “altura negativa” , uma vez que o hemisfério da esfera está na parte negativa do eixo . Assim, temos que a distância que a força atua é definida como . Logo:
Passo 2
O mais difícil nessa caso é achar uma uma expressão para em função de, nossa variável de integração. O peso do líquido é dado por:
Agora, observa que o volume varia ao longo do eixo , porque a área da seção transversal vai mudando. A forma de resolver isso é escrever o volume em sua forma infinitesimal. Para isso, vamos pensar em cada fatia infinitesimal de líquido. Nesse caso, temos:
O raio equivale ao valor de para cada fatia infinitesimal, então podemos escrever:
A relação entre e foi dada na figura:
Logo, podemos reescrever:
Sabemos que
Logo, em função de :
Sabendo que:
E os limites de integração?
Pelo desenho dado, a água é bombeada de até , concorda? Ele próprio colocou os eixos na figura, então eu tenho que entender o desenho!
Substituindo:
Pronto! Agora tudo dentro da integral está em função de , nossa variável de integração. Todo o resto são constantes.
- ''Passo 3
Resolvendo a integral:
No enunciado, ele dá o peso específico da água. O peso específico de um líquido é definido como:
Logo, temos:
Substituindo: