Integral Do Trabalho De Uma Força
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Fala aí! Nesse texto sobre aplicações de integrais, vamos ver como usar essa ferramenta do Cálculo para calcular fenômenos físicos, mais especificamente a integral do trabalho de uma força.
Tá preparado? Então vem comigo ver como fazer isso aí com uns exercícios resolvidos passo a passo 😋
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Como calcular o trabalho usando integral?
A fórmula mais simples de trabalho é aquela da força vezes deslocamento.
Mas essa fórmula aí só pode ser usada quando a força
É aí que entra a integral!
Olha só, imagina uma força variável qualquer, com uma função que descreve esse gráfico aqui em relação à distância:

Consegue perceber que cada valor de distância ali no eixo

Isso que quer dizer a força ser variável!
Agora, olha só como a gente resolve isso. Se a gente pegar um pedacinho muito pequeno (infinitesimal) de deslocamento
E aí podemos calcular o trabalho também infinitesimal
Beleza, mas a gente quer o trabalho todo e não só esse pedacinho, não é? Então, pra voltarmos de
Ah, é claro, a gente tem que conhecer a expressão da força
Então, bora ver alguns exemplos com os casos mais comuns.
Exemplo 1 - Trabalho da Força Peso
Qual o trabalho realizado para içar um balde que pesa a partir do solo, com velocidade constante, com uma corda de de comprimento? Considere que a corda tenha uma massa dada por .
Tá, se queremos o trabalho de uma força em dada direção, temos que encontrar uma expressão para essa força nessa direção. O primeiro passo é descobrir qual força atua nesse caso.
Repare que, pelo enunciado, a massa da corda não é desprezível. Isso significa que o trabalho realizado aqui vai ser o necessário para levantar o sistema
- Peso do balde
- Peso da corda
- Força para içar
Se o sistema é içado com velocidade constante, quer dizer que o somatório das forças sobre ele é nulo (Segunda Lei de Newton), certo? Então, a força para içar
O peso do balde já foi dado pelo enunciado. Vale
Aí tem que tomar cuidado! Conforme a corda vai sendo puxada, uma parte cada vez menor dela faz peso.
Se estabelecermos o seguinte sistema de coordenadas:

Conforme a corda vai sendo puxada, o comprimento que resta é
Lembrando que esse sistema de coordenadas aí é você quem escolhe, só tem que se atentar pra ser sempre coerente com ele.
Então, o peso da corda vai ser dado por:
Agora sim, bora substituir lá outra expressão.
A força atua por
Integrar esse polinômio aí não tem segredo, né?
Agora aplica os limites de integração:
Exemplo 2 - Trabalho da Força Elástica
Determine o trabalho necessário para esticar uma mola partindo de seu comprimento inicial de até uma extensão de . A constante elástica da mola é .
Novamente, o primeiro passo é encontrar a função que descreve a variação da força em
Como a situação aqui envolve uma mola, estamos tratando da força elástica! E, como você deve saber, esse cara pode ser descrito pela Lei de Hooke:
Então é essa expressão aí que vamos usar.
E os limites de integração?
Bora definir o seguinte sistema de coordenadas:

Como o enunciado quer que a mola seja esticada
Com mais algumas continhas:
Pronto! Chegamos no nosso resultado.
Deu pra perceber que o sucesso na resolução de problemas que pedem o trabalho realizado por uma força variável depende de entender a situação para podermos extrair uma função e escolher o sistema de coordenadas de forma que facilite suas contas, né?
Então bora fazer mais alguns exercícios resolvidos passo a passo pra ficarmos bem craques nisso aí!