Teoria

Fala aí! Nesse texto sobre aplicações de integrais, vamos ver como usar essa ferramenta do Cálculo para calcular fenômenos físicos, mais especificamente a integral do trabalho de uma força.

Tá preparado? Então vem comigo ver como fazer isso aí com uns exercícios resolvidos passo a passo 😋

Veja também

Como calcular o trabalho usando integral?

A fórmula mais simples de trabalho é aquela da força vezes deslocamento.

Mas essa fórmula aí só pode ser usada quando a força é constante. Afinal, se essa variável assumir vários valores, qual deles você vai jogar na fórmula?

É aí que entra a integral!

Olha só, imagina uma força variável qualquer, com uma função que descreve esse gráfico aqui em relação à distância:

Gráfico de uma função não constante.
Gráfico de uma função não constante.

Consegue perceber que cada valor de distância ali no eixo vai gerar um correspondente diferente de força no eixo ?

Cada valor de
Cada valor de

Isso que quer dizer a força ser variável!

Agora, olha só como a gente resolve isso. Se a gente pegar um pedacinho muito pequeno (infinitesimal) de deslocamento , a força correspondente só àquele pedacinho vai ser constante!

E aí podemos calcular o trabalho também infinitesimal resultante disso aí.

Beleza, mas a gente quer o trabalho todo e não só esse pedacinho, não é? Então, pra voltarmos de para , é só integrar em relação ao deslocamento todo.

Ah, é claro, a gente tem que conhecer a expressão da força em função de , para podermos integrá-la. Beleza?

Então, bora ver alguns exemplos com os casos mais comuns.

Exemplo 1 - Trabalho da Força Peso

Qual o trabalho realizado para içar um balde que pesa a partir do solo, com velocidade constante, com uma corda de de comprimento? Considere que a corda tenha uma massa dada por .

Tá, se queremos o trabalho de uma força em dada direção, temos que encontrar uma expressão para essa força nessa direção. O primeiro passo é descobrir qual força atua nesse caso.

Repare que, pelo enunciado, a massa da corda não é desprezível. Isso significa que o trabalho realizado aqui vai ser o necessário para levantar o sistema . Quais as forças atuando aí?

  • Peso do balde
  • Peso da corda
  • Força para içar

Se o sistema é içado com velocidade constante, quer dizer que o somatório das forças sobre ele é nulo (Segunda Lei de Newton), certo? Então, a força para içar deve ser igual ao peso do balde somado ao peso da corda.

O peso do balde já foi dado pelo enunciado. Vale . E o da corda?

Aí tem que tomar cuidado! Conforme a corda vai sendo puxada, uma parte cada vez menor dela faz peso.

Se estabelecermos o seguinte sistema de coordenadas:

Sistema de coordenadas para o exemplo.
Sistema de coordenadas para o exemplo.

Conforme a corda vai sendo puxada, o comprimento que resta é .

Lembrando que esse sistema de coordenadas aí é você quem escolhe, só tem que se atentar pra ser sempre coerente com ele.

Então, o peso da corda vai ser dado por:

Agora sim, bora substituir lá outra expressão.

A força atua por . Considerando o sistema de coordenadas que estabelecemos, vamos substituir lá na fórmula pro cálculo do trabalho.

Integrar esse polinômio aí não tem segredo, né?

Agora aplica os limites de integração:

Exemplo 2 - Trabalho da Força Elástica

Determine o trabalho necessário para esticar uma mola partindo de seu comprimento inicial de até uma extensão de . A constante elástica da mola é .

Novamente, o primeiro passo é encontrar a função que descreve a variação da força em .

Como a situação aqui envolve uma mola, estamos tratando da força elástica! E, como você deve saber, esse cara pode ser descrito pela Lei de Hooke:

é a tal da constante elástica e é a distância ou comprimento da mola.

Então é essa expressão aí que vamos usar.

E os limites de integração?

Bora definir o seguinte sistema de coordenadas:

Sistema de coordenadas para o exemplo.
Sistema de coordenadas para o exemplo.

Como o enunciado quer que a mola seja esticada além do seu comprimento original, a força age por um total de . Então:

Com mais algumas continhas:

Pronto! Chegamos no nosso resultado.

Deu pra perceber que o sucesso na resolução de problemas que pedem o trabalho realizado por uma força variável depende de entender a situação para podermos extrair uma função e escolher o sistema de coordenadas de forma que facilite suas contas, né?

Então bora fazer mais alguns exercícios resolvidos passo a passo pra ficarmos bem craques nisso aí!

Exemplo 1 - Trabalho da Força Peso

Exemplo 2 - Trabalho da Força Elástica

Exercícios de Livros Relacionados