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Derivadas trigonometricas

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Teoria

Fala aí, e bem vindo ao RespondeAí! Aqui nós vamos te mostrar rapidinho algumas derivadas trigonométricas importantes para você durante seu curso de Cálculo na faculdade!

Aqui a gente tem uma Tabela de Derivadas Completa! Mas pra agilizar, da uma olhadinha nessa tabela com as principais derivadas trigonométricas:

Principais derivadas trigonométricas
Principais derivadas trigonométricas

Mas se quiser saber mais, é só olhar aqui

Derivadas do seno e cosseno

As derivadas de funções trigonométricas mais importantes são a do seno e a do cosseno:

Esses resultados não precisam ser demonstrados, o importante é nunca esquecê-los, ou confundi-los! Pois se você souber essas duas, poderá até deduzir as outras

Outras derivadas trigonométricas

Mas não podemos esquecer das outras funções trigonométricas também! Temos mais quatro que aparecem bastante em questões de provas: derivada da tangente, a derivada da secante, a derivada da cossecante, a derivada da cotangente

Para deduzir essas quatro derivadas temos que já saber a do seno e do cosseno, e depois aplicamos a regra do quociente.

Derivada da tangente:

Primeiro você tem que lembrar que a tangente é uma divisão do seno pelo cosseno . Quando você derivar a tangente, temos que aplicar a regra do quociente.

Mas você não precisa fazer todo esse processo, desde que se lembre que:

Derivada da secante:

Para provar a derivada da secante fazemos um processo similar. Lembramos que a secante é , e ao derivar aplicamos a regra do quociente:

Desenvolvendo isso, vamos ter:

Ou seja:

Derivada da cossecante:

Para fazer a prova a derivada da cossecante é a mesma coisa: lembramos que a cossecante é , e ao derivar aplicamos a regra do quociente:

Simplificando a expressão:

Mas você só precisa se lembrar que:

Derivada da cotangente:

A última que vamos provar é a derivada da cotangente. E é o mesmo processo, sabendo que a cotangente é , vamos derivar aplicando a regra do quociente.

Vamos desenvolver, lembrando que e que :

Mas não se procupe em decorar o desenvolvimento, o importante é que:

Para ver se realmente entendemos, vamos fazer um exercício!

Exercício

Veja nossa resolução Passo a Passo de um de nossos exercícios do tópico de Derivadas de Funções Trigonométricas:

Ache a derivada de:

E é só continuar aqui no site pra fazer ainda mais exercícios 👇

Outras derivadas trigonométricas

Exercício

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Calcule a derivada da função:

y = 5 sen ⁡ x

Passo 1

Temos uma função trigonométrica que está sendo multiplicada por uma constante, então vamos lembrar das respectivas fórmulas?

d k f x d x = k d f x d x

sen ⁡ x ' = cos ⁡ x

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Passo 2

Aplicando a regra da multiplicação por constante, teremos:

d y d x = 5 sen ⁡ x ' = 5 sen ⁡ x '

Aplicando a regra de derivada de seno, teremos:

= 5 cos ⁡ x

Resposta

d y d x = 5 cos ⁡ x

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Ache a derivada de:

f x = x 5 + tg ⁡ x

Passo 1

Sem mistério, a derivada da soma é a soma das derivadas:

d f d x = d x 5 d x + d tg ⁡ x d x

Passo 2

Da fórmula de derivada de polinômio:

d x n d x = n x n - 1

Temos que:

d x 5 d x = 5 x 4

Passo 3

E a derivada da tangente é:

d tg ⁡ x d x = sec 2 ⁡ x

Então a derivada da f vai dar

f ' x = 5 x 4 + sec 2 ⁡ x

Resposta

f ' x = 5 x 4 + sec 2 ⁡ x

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Ache a derivada da função f tal que

f x = 3 e π sec ⁡ x 7

Passo 1

Apesar da função parecer meio estranha à primeira vista, ela apenas é a função sec ⁡ x multiplicada pela constante 3 e π 7 , ou seja:

d f d x = 3 e π 7 ∙ d sec ⁡ x d x

Passo 2

E se você estiver com as derivadas das funções trigonométricas em dia vai saber que:

d ( sec ⁡ x ) d x = sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x

Então vamos ter:

f ' x = 3 e π 7 sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x

Resposta

f ' x = 3 e π 7 sec ⁡ x ∙ tg ⁡ x

Exercício Resolvido #4

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.185-9

Determine d y d x

y = 4 cos ⁡ x + 1 tg ⁡ x

Passo 1

Rearrumando, podemos nos lembrar que

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x         ;       cotg ⁡ x = 1 tg ⁡ x

Vamos aplicar isso no y :

y = 4 1 cos ⁡ x + 1 tg ⁡ x

= 4 sec ⁡ x + cotg ⁡ x

Passo 2

Derivamos agora:

f ' x = 4 sec ⁡ x ' + cotg ⁡ x '

= 4 tg ⁡ x sec ⁡ x + - cossec 2 ⁡ x

Resposta

f ' x = 4 tg ⁡ x sec ⁡ x + - cossec 2 ⁡ x

Exercício Resolvido #5

Elaboração própria

Calcule a derivada da função:

y = 5 cotg ⁡ x tan ⁡ x cos ⁡ x

Passo 1

Opa! Agora que apareceu esse produto, vamos começar tentando reorganizar esse cara pra podemos aplicar a derivada.

Bem, de cara temos que:

tg ⁡ x = 1 cotg ⁡ x

Assim:

y = 5 cotg ⁡ x tan ⁡ x cos ⁡ x = 5 cotg ⁡ x ∙ 1 cotg ⁡ x ∙ cos ⁡ x =

= 5 ⋅ cotg ⁡ x cotg ⁡ x cos ⁡ x = 5 cos ⁡ x

y = 5 cos ⁡ x

Beeeeem melhor!

Passo 2

Lembrando que:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Aplicando a regra da derivada do cosseno, teremos:

d y d x = 5 - sen ⁡ x

d y d x = - 5 sen ⁡ x

Resposta

d y d x = - 5 sen ⁡ x

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