Equação de Euler-Cauchy

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Teoria

A Equação de Euler-Cauchy, também conhecida como Equação de Cauchy-Euler é bem parecida com uma EDO de segundo ordem homogênea, mas tem uma diferença muito importante, os coeficientes não são números!!

Presta muita atenção na diferença entre elas, pra não ter confusão:

Equação de Euler-Cauchy e EDO de 2ª ordem

Equação de Euler-Cauchy e EDO de 2ª ordem.
Equação de Euler-Cauchy e EDO de 2ª ordem.

Percebeu a diferença?! Tanto na Equação de Euler-Cauchy, quanto na EDO de 2ª ordem homogênea temos o , sua derivada primeira e sua derivada de segunda ordem. A diferença entre essas duas equações está nos coeficientes!

Na EDO de 2º ordem homogênea temos apenas os coeficientes e , que são números reais,

já na na Equação de Euler-Cauchy temos o e o que acompanham a derivada segunda e a derivada primeira de , respectivamente. Além disso não podemos esquecer dos coeficientes e que são constantes!

E agora…como a gente faz pra lidar com esse que apareceu na nossa equação?! 🥲

Calma que a gente vai aprender passo a passo do Método de Euler! 🤩

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Método de Euler: Passo a Passo

Bora aprender na prática como resolver uma equação de Euler-Couchy?! Bora fazer um exemplo então, vamos encontrar a solução geral desse carinha aqui:

Já ficou atento no formatinho dela, né?

Passo 1: Colocar a EDO na Forma

Pro método de Euler funcionar, a nossa EDO precisa estar nesse formatinho ali de cima! Repara que o coeficiente de é igual a . Agora bora dar uma olhada na nossa equação:

Ela tá no formatinho certo, então não precisamos fazer nada aqui! Mas imagina que tivéssemos esse caso:

A gente poderia dividir toda a Equação por e teríamos:

Prontinho! Sem grandes problemas! Se você preferir você pode acompanhar o restante dessa resolução nesse vídeo iradoso aqui em baixo! 😉

Passo 2: Definir e

Aqui também não tem mistério, é só a gente olhar pra a equação e pegar os coeficientes da segunda e da terceira parcelas. No nosso caso temos:

Passo 3: Escrever o Polinômio Característico

Quando temos uma Equação de Euler, caímos no seguinte polinômio característico:

Substituindo o e o :

Mas da onde surgiu esse ?!

Pra ficar mais claro vamos dar um passo pra trás e voltar na nossa equação e sugerir a solução . Substituindo, ficamos com:

Derivando, ficamos com:

Arrumando, chegamos em:

Opaaa, chegamos no polinômio característico!!

Passo 3: Encontrar as Raízes do Polinômio Característico

Reparou que o polinômio característico é uma equação do segundo grau? Então resolvemos ela usando Bhaskara:

Onde:

Para o nosso exemplo, temos:

Resolvendo, achamos:

Passo 4: Escrever a Solução da EDO

Show! Agora partimos para a solução, que vai ser a combinação dessas respostas:

Resumindo, vimos que, quando estamos resolvendo uma equação pelo método de Euler, chegamos em um polinômio característico. Nesse ponto a gente precisa encontrar a solução do polinômio pra aí sim, encontrar o resultado final! Como caímos em uma equação do segundo grau, lá no polinômio característico, temos 3 possibilidades. .

Vamos ver fazer o Método de Euler em cada uma delas.

Caso 1: Raízes Reais Distintas

Quando o for maior que zero, teremos duas raízes reais e distintas , então temos:

Esse foi justamente o nosso caso, lembra?

Caso 2: Raízes Reais Iguais

Agora, quando o for igual a zero as raízes vão ser iguais , então temos:

Percebe que tem um ali. Ele é necessário porque senão as duas parcelas serão iguais!

Caso 3: Raízes Complexas

E pra encerrar, quando o for menor que zero teremos raízes complexas . A solução geral da EDO fica:

Nesse quadro resumo a gente tem todas as informações que você precisa, sobre o Método de Euler, organizadas:

Soluções do Método de Euler
Soluções do Método de Euler

Agora vamos praticar com exercícios!?

Caso 1: Raízes Reais Distintas

Caso 2: Raízes Reais Iguais

Caso 3: Raízes Complexas

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Determine a solução geral da equação diferencial dada.

x 2 y ' ' - 5 x y ' + 9 y = 0

Passo 1

Olhando para a EDO, vemos que é uma Equação de Euler de coeficientes α = - 5   ,   β = 9 .

Se procurarmos soluções do tipo y x = x r , temos então a seguinte equação característica:

F x = r 2 + - 5 - 1 r + 9 = 0

r 2 - 6 r + 9 = 0

Δ = 0

r = 3

Passo 2

Como ∆ = 0 , temos uma raiz dupla r , as soluções da EDO são, então:

y x = a 1 x 3 + a 2 x 3 ln ⁡ x

Resposta

y x = a 1 x 3 + a 2 x 3 ln ⁡ x

Exercício Resolvido #2

Considere a seguinte família de equações de Euler:

1                 16 x 2 y ' ' x + 8 x y ' x + y x = k ,             x > 0

Onde k é uma constante real.

  1. Encontre a solução da equação homogênea ( k = 0 ) correspondente a ( 1 ) que satisfaz as seguintes condições:
  2. 2                       y 1 = 1           e           y e = 0

    onde e   =   2 ,   718 . . . . . é a base do logaritmo neperiano.

  3. Seja y ( x ) uma solução qualquer de ( 1 ) com k = 1 . Calcule o valor de lim x → 0 + ⁡ y ( x ) .

Sugestão: encontre uma equação de Euler que seja satisfeita pela função w x = y x - 1 .

Passo 1

Letra a)

Temos o seguinte:

16 x 2 y ' ' + 8 x y ' + y = 0

Precisamos deixar x 2 y ' ' sozinho, então

x 2 y ' ' + 1 2 x y ' + 1 16 y = 0

Olhando para a EDO, vemos que é uma Equação de Euler de coeficientes α = 1 / 2   ,   β = 1 / 16 .

Se procurarmos soluções do tipo y x = x r , temos então a seguinte equação característica:

F x = r 2 + 1 2 - 1 r + 1 16 = 0

r 2 - 1 2 r + 1 16 = 0

Resolvendo essa equação

Δ = 0

r = - - 1 2 ± - 1 2 2 - 4 1 1 16 2 = - - 1 2 ± 1 4 - 1 4 2 = 1 2 ± 0 2 = 1 4

Passo 2

Como ∆ = 0 , temos uma raiz dupla r , as soluções da EDO são, então:

y x = a 1 x r + a 2 x r ln ⁡ x

Substituindo o valor de r :

y x = a 1 x 1 / 4 + a 2 x 1 / 4 ln ⁡ x

Passo 3

Usando as condições

y 1 = 1  

y e = 0

Temos

1 = a 1 1 1 / 4 + a 2 1 1 / 4 ln ⁡ 1

a 1 = 1

0 = a 1 e 1 / 4 + a 2 e 1 / 4 ln ⁡ e

0 = e 1 / 4 + a 2 e 1 / 4

a 2 = - 1

Passo 4

Substituindo na expressão de y ( x ) :

y x = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln ⁡ x

Passo 5

Letra b)

Com k = 1 , a equação passa a ser

16 x 2 y ' ' + 8 x y ' + y = 1

Fazendo

w = y - 1

Temos

16 x 2 w ' ' + 8 x w ' + w = 0

E a solução dessa EDO nós já temos do item anterior:

w x = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln ⁡ x

Fazendo, então, w = y - 1 :

w x = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln ⁡ x

y x - 1 = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln ⁡ x

y x = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln ⁡ x + 1

Passo 6

Vamos calcular o limite disso aí entao

lim x → 0 + ⁡ y ( x ) = lim x → 0 + ⁡ x 1 4 - x 1 4 ln ⁡ x + 1

= lim x → 0 + ⁡ x 1 4 - lim x → 0 + ⁡ x 1 4 ln ⁡ x + 1 =

= - lim x → 0 + ⁡ x 1 4 ln ⁡ x + 1 =

Aplicando L’Hopital

= - lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x - 1 / 4 + 1 =

= - lim x → 0 + ⁡ 1 / x - 1 / 4 x - 5 / 4 + 1 =

= - 4 lim x → 0 + ⁡ x 1 / 4 + 1 = 0 + 1 = 1

Resposta

  1. y x = x 1 / 4 - x 1 / 4 ln ⁡ x
  2. 1

Exercício Resolvido #3

Encontre todos os valores de β para os quais todas as soluções de x 2 y ' ' + β y = 0 tendem a zero quando x → 0 .

Passo 1

Olhando para a EDO, vemos que é uma Equação de Euler de coeficiente α = 0 ( β é o que queremos encontrar).

Se procurarmos soluções do tipo y x = x r , temos então a seguinte equação característica:

F x = r 2 + 0 - 1 r + β = 0

r 2 - r + β = 0

r = 1 ± 1 - 4 β 2

1 - 4 β = ∆

Como nós não conhecemos β , não sabemos se ∆ > 0 , ∆ = 0 ou ∆ < 0 , então, vamos ter que analisar a questão para cada um desses três casos.

Passo 2

Supondo que ∆ > 0

  1. Encontrar o intervalo de β
  2. ∆ = 1 - 4 β > 0

    β < 1 4

    Então, estamos analisando esses valores de β , que fazem ser positivo.

  3. Encontrar a solução geral de y ( x )
  4. Nesse caso, temos duas raízes reais distintas:

    r 1 = 1 + 1 - 4 β 2

    r 2 = 1 - 1 - 4 β 2

    E as soluções da EDO são do tipo

    y x = a 1 x r 1 + a 2 x r 2

  5. Encontrar β que faz lim x → 0 ⁡ y ( x ) = 0

O problema pede que as soluções tendam a zero quando x → 0 , não é? Em outras palavras, queremos:

lim x → 0 ⁡ a 1 x r 1 + a 2 x r 2 = 0

Isso ocorre quando x for elevado a um número positivo, ou seja, quando r 1 > 0 e r 2 > 0 .

Caso contrário, se x for elevado a uma raiz negativa, como - 1 por exemplo, temos 1 / x . Quando x → 0 , isso tende a infinito. Se a raiz for nula, temos x 0 = 1 e a solução continua sem tender para zero.

Portanto, precisamos de raízes positivas:

r 1 = 1 + 1 - 4 β 2 > 0

r 2 = 1 - 1 - 4 β 2 > 0

Para não complicar muito as coisas, já vamos considerar valores de positivos, que é o caso 1. Sendo assim, a primeira inequação é satisfeita para qualquer positivo, portanto, para β < 1 / 4 . Falta, então, analisar a segunda.

Da mesma forma que na primeira, temos que ter ∆ > 0 , portanto, β < 1 / 4 , esse é o valor máximo que β assume. Mas essa inequação não é satisfeita para qualquer β < 1 / 4 , veja que, para termos r 2 positiva precisamos de:

1 - 4 β < 1     →     β > 0

Se essa raiz for maior que 1 , teremos 1 - n ú m e r o   m a i o r   q u e   1 < 0 , a raiz fica negativa. Certo? Então, a solução da segunda inequação é 0 < β < 1 / 4 .

Como nós precisamos que r 1 E r 2 sejam positivas temos que fazer a interseção entre as soluções das duas inequações, que é

0 < β < 1 / 4

Passo 3

Supondo que ∆ = 0

  1. Encontrar o intervalo de β
  2. ∆ = 1 - 4 β = 0

    β = 1 4

    Então, agora estamos analisando apenas esses valores de β , que fazem ser igual a zero.

  3. Encontrar a solução geral de y ( x )
  4. Nesse caso, encontramos a raiz dupla da equação característica:

    r = 1 ± 0 2 = 1 2

    As soluções da Equação de Euler são do tipo:

    y x = a 1 x r + a 2 x r ln ⁡ x

  5. Encontrar β que faz lim x → 0 ⁡ y ( x ) = 0
  6. O problema pede que as soluções tendam a zero quando x → 0 , ou seja:

    lim x → 0 ⁡ a 1 x r + a 2 x r ln ⁡ x = 0

    lim x → 0 ⁡ a 1 + a 2 ln ⁡ x x r = 0

    Novamente, isso deve ocorrer quando x for elevado a um número positivo, ou seja, quando r > 0 , pelo mesmo motivo que vimos no caso anterior. Veja que aparece um limite do tipo lim x → 0 ⁡ x r ln ⁡ x . Como a gente sabe que lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x = - ∞ , a gente tem que dar uma olhada com mais calma nesse limite que apareceu, pra ver se ele realmente vai pra zero.

    Supondo que r > 0 :

    lim x → 0 ⁡ x r ln ⁡ x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 1 x r = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x x - r

    Caímos numa indeterminação do tipo ∞ / ∞ . Usando nosso velho amigo L’Hospital:

    lim x → 0 ⁡ x r ln ⁡ x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x ' x - r ' = lim x → 0 ⁡ 1 x - r x - r - 1

    lim x → 0 ⁡ x r ln ⁡ x = lim x → 0 ⁡ - x r r = 0

    O limite vai pra zero! Queremos, então:

    r = 1 2 > 0

    Isso é sempre verdade, logo, sempre que for zero, o problema é satisfeito.

  7. Fazer a interseção entre os itens 1 e 3

Para o caso 2, temos então a seguinte solução:

β = 1 4

Passo 4

Supondo que ∆ < 0

  1. Encontrar o intervalo de β
  2. ∆ = 1 - 4 β < 0

    β > 1 4

  3. Encontrar a solução geral de y ( x )
  4. Nessa região temos negativo, o que nos leva a duas raízes complexas para a equação característica:

    r 1 = 1 + i 4 β - 1 2 = λ + i μ

    r 2 = 1 - i 4 β - 1 2 = λ - i μ

    Veja que, para colocar i em evidência, tivemos que mudar o sinal do que está dentro da raiz!

    As soluções da Equação de Euler são do tipo:

    y x = a 1 x λ cos ⁡ ( μ ln ⁡ x ) + a 2 x λ sen ⁡ ( μ ln ⁡ x )

    Já sabemos que λ = 1 / 2 .

  5. Encontrar β que faz lim x → 0 ⁡ y ( x ) = 0
  6. O problema pede que as soluções tendam a zero quando x → 0 , ou seja:

    lim x → 0 ⁡ a 1 x 1 / 2 cos ⁡ ( μ ln ⁡ x ) + a 2 x 1 / 2 sen ⁡ ( μ ln ⁡ x ) = 0

    lim x → 0 ⁡ a 1 cos ⁡ ( μ ln ⁡ x ) + a 2 sen ⁡ ( μ ln ⁡ x ) x 1 / 2 = 0

    Bom, esse limite já dá zero, não é? Temos:

    a 1 cos ⁡ ( μ ln ⁡ 0 ) + a 2 sen ⁡ ( μ ln ⁡ 0 ) 0 1 / 2 = 0

    Para qualquer valor de μ (e, portanto, de β ).

  7. Fazer a interseção entre os itens 1 e 3

Estamos analisando o caso em que β > 1 / 4   , não é? Então, nosso problema é satisfeito no caso 3 para:

β > 1 / 4

Passo 5

A resposta do problema é a junção de todas as soluções que encontramos para os três casos de valores de β , ou seja:

  1. 0 < β < 1 / 4
  2. β = 1 / 4
  3. β > 1 / 4

A soma disso tudo dá

β > 0

Resposta

β > 0

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