Método dos Coeficientes Indeterminados
Produzido por Carolina SabaTeoria
Faaaala tu, tatu! Tudo bem? Hoje vamos estudar EDO de 2ª ordem não homogênea. Você lembra da homogênea? Ela era assim:
O problema todo surgiu quando essa mesma equação não estava mais igualada a zero! E agora? É isso que a gente vai estudar nessa teoria! Uma EDO desse tipo:
Onde e são constantes. A única diferença entre uma EDO homogênea e uma EDO não homogênea é esta: em vez de o lado direito ser igual a zero (homogênea), é igual a uma função de .
MAS CALMA AÍ, MEU ANJO! Não é qualquer função que vamos estudar aqui não. Serão EDOs desse tipo:
A função , em geral, envolverá no máximo três tipos de funções:
- Função exponencial:
- Função polinomial:
- Função trigonométrica: ou
Para resolver essas EDOs, são três etapas:
- Resolver a EDO como se fosse homogênea – solução homogênea:
- Encontrar a solução particular:
- Encontrar solução geral:
A etapa 1 já sabemos fazer, basta fingir que o lado direito da equação é zero, fazendo de conta que é uma EDO homogênea e então encontramos a solução homogênea
A etapa 2 será o foco dessa seção. Vamos ver passo a passo como encontrar o . Nada melhor do que começarmos com um exemplo, né?
Opaaaa! Primeira coisa a se fazer: encontrar . Para isto, é só resolvermos
Agora, bora pra particular! Cara, chegou a melhor parte disso tudo, hora de fazer algo que sabemos desde a escola: chutar!
Se a gente tem um , que é um polinômio, não há nada mais justo do que chutar um polinômio do segundo grau, não acha?
“Ahhh, mas só tem ali, pra que colocar o e o também?” Calma, você precisa chutar o polinômio por completo, não apenas a parte que aparece, ok?
Beleza, agora vamos substituir tudo na EDO.
Agrupando os termos semelhantes
Agora a gente só precisa comparar os coeficientes de ambos os lados.
Por exemplo, o cara que acompanha de um lado, tem que ser igual ao cara que acompanha o do outro lado. O cara que acompanha o de um lado tem que ser igual ao cara que acompanha o do outro. Esse raciocínio vai ser seguido sempre, ok?
Daí, resolvendo esse sistema, encontramos os valores de e , e substituímos em
E, finalmente, chegamos na etapa 3, encontrando a solução geral
Acabamos esse exemplo. Nem doeu, né?
Um passo MUITO IMPORTANTE é o seguinte: sempre que supomos um , precisamos ver se a nossa sugestão já está presente em . No exemplo acima não deu nada errado, porque não estava em , mas nem tudo são flores.
Olha um exemplo:
Esse é o mesmo caso que vimos agora, com exceção do , que é uma exponencial. Já vimos que a solução homogênea é
Já que temos uma exponencial, vamos chutar uma exponencial também, com o mesmo expoente, acompanhada por uma constante:
Show. Agora, perceba que esse chute já aparece em , concorda? Então precisamos consertar esse pequeno detalhe. Como fazemos isso? Vamos apenas multiplicar nossa por x até que ela fique diferente do termo que aparece em , desse jeito:
Prontinho, agora as contas seguem:
Agrupando os termos semelhantes
Logo, comparando os coeficientes em ambos os lados
Então,
Show?! Beleza, vamos ao último exemplo, envolvendo nossas trigonométricas (senos ou cossenos)
Novamente, . Como nossa ...
“Ahhhh, já sei, vou chutar , né?” NÃÃÃÃÃO!!! SEMPRE que aparecer senos ou cossenos, você precisa chutar uma combinação linear dos dois! O que é isso? É o seguinte:
Sacou? Agora o procedimento é o mesmo. Vamos verificar se ela está na solução homogênea... Não está, pois a homogênea desse caso só envolve exponencial. Podemos prosseguir:
Substituindo na EDO
Agrupando termos semelhantes
Novamente, vamos comparar os coeficientes:
Obtendo e
Então
Feitooooo!
Chegou a hora do BIZU! Dá uma olha na tabela aqui pra você saber qual chute dar!
Nossa, falei muito! Guarda esse passo a passo e treina nos exercícios!
Passo a Passo
1. Resolva a equação homogênea (faça o ).
2. Identifique quem é o e compara com a tabela para determinar o seu chute.
3. Compare a solução homogênea e a particular. Se precisar vai multiplicando por até que elas fiquem diferentes.
4. Jogue o chute na EDO e descubra .
5. Se for um PVI/PVC, substitua os dados iniciais.