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Enunciado

Cálculo - Dennis G. Zill - Equações Diferenciais - Vol 1- Ed: 3º - Capítulo 6.1 - Ex. 12

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada.

x 2 y ' ' + 8 x y ' + 6 y = 0

Passo 1

E aí, tudo beleza?

Olha só, a gente quer resolver essa EDO de segunda ordem aqui:

x 2 y ' ' + 8 x y ' + 6 y = 0

Temos aqui uma equação homogênea. Pra resolver esse tipo de equação, escrevemos y = x m , que é a forma da nossa resposta.

Bom, aí vamos ter:

y ' = m x m - 1

y ' ' = m m - 1 x m - 2

Agora a gente vai substituir na EDO e tentar encontrar m , bora!

Passo 2

Substituindo, vamos ter:

x 2 y ' ' + 8 x y ' + 6 y = 0

x 2 m m - 1 x m - 2 + 8 x m x m - 1 + 6 x m = 0

m 2 x m - m x m + 8 m x m + 6 x m = 0

m 2 x m + 7 m x m + 6 x m = 0

x m m 2 + 7 m + 6 = 0

Daqui a gente tem que m 2 + 7 m + 6 = 0 , já que x m ≠ 0 sempre. E resolvendo isso...

Passo 3

Resolvendo...

m 2 + 7 m + 6 = 0

Δ = 49 - 24 = 25

m 1 = - 7 + 5 2 =   - 1

m 2 = - 7 - 5 2 =   - 6

Temos duas raízes, então a solução é dessa forma:

y = c 1 x m 1 + c 2 x m 2

Então a nossa solução é:

y = c 1 x - 1 + c 2 x - 6

E pronto! 😉

Resposta

y = c 1 x - 1 + c 2 x - 6

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