Aproximação Linear da Função Inversa

Teoria

Agora que a gente já aprendeu qual a aproximação linear de uma função vetorial e como calcular a inversa e sua derivada de uma função vetorial, vamos aprender a calcular uma aproximação linear para a função inversa.

É simples:

Se a função linear que aproxima nas proximidades de um ponto é

Então a função linear que melhor aproxima nas proximidades do ponto é:

Ou seja, se uma função vetorial pode ser aproximada por uma função linear nas proximidades de um ponto , então a função inversa pode ser aproximada, nas proximidades do ponto , pela inversa da função linear que melhor aproxima nas proximidades de .

Veja só esse exemplo:

Seja

Sabendo que é inversível numa vizinhança do ponto , determine a função linear que melhor aproxima nas proximidades de .

Olha, para achar a aproximação linear da função inversa, usamos:

Então vamos identificar quem é quem:

Agora só precisamos calcular .

Masss, malandramente eu escolhi esse exemplo porque a gente JÁ calculou isso na teoria de Teorema da Função Inversa õ/. O resultado foi:

Então, só nos resta substituir:

E só pra você não achar que esse veio do céu, assim como

Ou seja, são só as componentes do vetor. Você podia chamar de que letras quisesse.

Tudo tranquilo então? Dá umas olhadinhas nos exercícios agora.

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere a função definida por

Sabendo que é inversível próximo ao ponto , determine a função afim que melhor aproxima a inversa da função numa vizinhança do ponto .

Passo 1

Para achar a aproximação linear da função inversa, usamos:

Então vamos identificar quem é quem na nossa questão:

E vamos chamar nosso .

Passo 2

Agora só precisamos calcular .

Para isso vamos precisar calcular :

Passo 3

Pelo Teorema da Função Inversa temos:

Passo 4

Calculando

Então

Passo 5

Agora é só substituir

Resposta

Exercício Resolvido #2

Seja

Sabendo que é inversível próximo ao ponto , calcule um valor aproximado para