Funções Definidas Implicitamente

Funções definidas implicitamente numa equação são exatamente isso: funções de que estão dentro de uma equação, sem que a gente consiga, simplesmente olhando pra equação, enxergar a cara delas. Mas que estão lá!!

Se você reparar, se a gente jogar essas duas funções e naquela primeira equação, vamos ver que elas são, de fato, soluções:

Sacou a parada?

Então, em termos matemáticos, o que a gente tem é:

Uma função está definida implicitamente numa equação se, quando a gente substituir nessa equação, o resultado for zero, ou seja, , para todo no domínio de .

E, se a gente fizer

Vamos ver que essa definição foi exatamente o que a gente fez ali em cima, né?

Então, agora já sabe: Equações que definem funções implicitamente serão representadas na forma:

Beleza. Mas já que aqui não tem mais criança, imagine agora que temos a equação de 3 variáveis :

Verifique se ela define como uma função de e .

Pelo que eu acabei de dizer ali em cima, vamos pegar essa equação e jogar tudo pra um lado só, pra poder igualar a zero. Assim

Beleza, agora para achar o , a gente só precisa isolá-lo e escrevê-lo como função de e .

Ou seja, temos duas expressões para em função de e :

Tá, mas como a gente sabe se essas expressões estão, de fato, definidas implicitamente naquela equação?

Lembra da definição que eu te dei pra funções definidas implicitamente de uma variável?

Então, ela vale para aqui também. Só precisamos fazer um pequeno ajuste já que, para mais de uma variável, o que temos são vetores. Aí fica assim:

Dada um função que leva cada par de vetores

no par de vetores

A gente diz que tem uma função é definida implicitamente pela equação , se quando a gente substituir nessa equação, o resultado for zero, ou seja, se , para todo no domínio de .

Relaxa, o que a gente ta dizendo aqui é EXATAMENTE a mesma coisa que disse pra uma variável, só que agora, a equação , que define implicitamente uma função, é uma função vetorial e a nossa função definida implicitamente, , é uma função de várias variáveis ...

Então, o são as funções que são definidas implicitamente e o são as variáveis dessas funções.

Vamos continuar no nosso exemplo pra você entender melhor.

Queremos saber se pode ser definido implicitamente como uma função de e , então, o que temos é:

E, portanto,

Agora, queremos saber se esse pode ser definido implicitamente como uma função de e por aquelas expressões que encontramos pra . Então, precisamos substituir na nossa equação

E vê se dá mesmo zero. Vejamos

Opa, deu zero, então está definido implicitamente como função de e .

Agora vamos lá, duas coisas que você NÃO PODE esquecer de jeito maneira:

• Em o são as funções que são definidas implicitamente e o são as variáveis dessas funções.
• Equações que definem funções implicitamente são representadas na forma

Pode acontecer também de ele te dar a equação e perguntar se ela define uma função implicitamente num ponto então a primeira coisa é verificar que ela é no ponto que ele quer que você veja se tem implícita beleza?