Teorema da Função Inversa
Teoria
O Teorema da Função Inversa serve para determinar a derivada da inversa de uma função, sem ao menos saber quem é essa inversa.
Relaxa, com esse nome parece difícil, mas não é! E você vai ver que é igual ao que já aprendeu em cálculo de uma variável.
“Ahhh, e tu acha que eu lembro?”
Hahah, fique tranqs que eu vou fazer você lembrar tudinho!
Teorema da Função Inversa
Para o caso de uma variável, o teorema diz que se uma função de uma variável é derivável e sua derivada num ponto , , tem inversa, então, próximo de a função original também tem inversa e essa inversa também é diferenciável. E mais: que a derivada da inversa é o inverso da derivada., assim:
onde .
Então, sendo determine .
Temos que
E
Mas precisamos também saber quem é , para isso basta fazer:
Agora aplicando o teorema
Se você calcular a inversa de (que é ), derivar e aplicar o ponto , vai encontrar exatamente o mesmo resultado.
Ufa, então esse teorema funciona mesmo!
Agora vamos generalizar para funções de várias variáveis. Nesse caso, o teorema é:
Se temos uma função vetorial que possui derivada e se a sua derivada no ponto , isto é, , tem inversa. Então podemos garantir que ali pertinho de a função também tem inversa e que essa inversa é diferenciável. E mais, que a derivada da inversa no ponto é o inverso da derivada de no ponto . Assim
Igualzinho ao que era pra uma variável só!!
Só fique atento que a derivada da inversa é calculada no ponto , que é do domínio da inversa, e a derivada da função original é calculada no ponto , que é do domínio de . Fique muito ligado nisso!
Eu sei que parece muito difícil, mas não é! Vem comigo nesse exemplo pra tu ver:
Considere a função definida por
Determine .
Esse é um caso típico de teorema da função inversa: a gente tem a função e quer saber quem é a derivada da inversa num ponto sem precisar calcular a inversa.
Então vamos lá. Primeiro temos que calcular a derivada de no ponto . Ou seja, vamos ter que calcular a matriz Jacobiana:
Ok, mas quem é e ?
a questão já deu pra gente:
Repara que coloquei em maiúsculo para lembrar que isso é um ponto e não um valor da coordenada do ponto.
Pra encontrar bastar fazer
E resolver o sistema
Isolando na segunda equação e substituindo na primeira, achamos que
E, assim,
Agora já estamos prontos para aplicar o teorema! Então
Opa o que é aquilo alí? Uma matriz! E mais ainda: com expoente menos um. Ou seja, temos que invertê-la. Fazendo aqueles cálculos que você aprendeu lá em Álgebra Linear...
Viu só, no fim das contas esse teorema nem parece tão feio assim, né?
Resumindo: se você tem uma função que é diferenciável e sua derivada tem inversa, então a função também tem inversa e essa inversa também é diferenciável e a derivada da inversa é o inverso da derivada
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 12, questão 4.
Seja
Com domínio .
- Mostre que admite inversa numa vizinhança de qualquer
- Determine
Passo 1
A função admite inversa se as condições do teorema da função inversa são satisfeitas, isto é, se a derivada de for inversível num ponto .
Vamos primeiro calcular
Passo 2
tem inversa se seu determinante for diferente de zero. Calculando esse determinante
Para qualquer valor de .
Então, como esse determinante é diferente de zero, temos que admite inversa numa vizinhança de qualquer
Passo 3
Pelo teorema da função inversa
Onde
Passo 4
Calculando
Logo
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 11, questão 3.
Seja
- Encontre explicitamente a inversa de , que é uma função
- Encontre o jacobiano em qualquer
- Verifique que em qualquer e em qualquer
- Os itens (b) e (c) contradizem o Teorema da Função Inversa? Explique.
Passo 1
Temos
Temos um vetor
Escrito em função do vetor
.
Se quisermos encontrar a inversa dessa função, temos que escrever cada componenete do vetor como uma função do vetor :
Passo 2
Vamos lá:
E
E
Passo 3
Então
Passo 4
O jacobiano representa o determinante da matriz derivada da função, ou seja .
Vamos calcular primeiro a matriz derivada então para qualquer
Passo 5
O Jacobiano será então:
Passo 6
Para , temos
Para , temos
Passo 7
A hipótese do Teorema da Função Inversa diz que deve possuir inversa e isso acontece se , mas ele não afirma nada sobre quando . Assim, esse exemplo não contradiz o teorema, mas prova que sua recíproca não é verdadeira, isto é, que se não significa que não tenha inversa e, consequentemente, não significa que a derivada da inversa não seja o inverso da derivada.
Resposta
- e
- A hipótese do Teorema da Função Inversa diz que deve possuir inversa e isso acontece se , mas ele não afirma nada sobre quando . Assim, esse exemplo não contradiz o teorema, mas prova que sua recíproca não é verdadeira, isto é, que se não significa que não tenha inversa e, consequentemente, não significa que a derivada da inversa não seja o inverso da derivada.