Teoria

“Ah não, mais um teorema!?”

Relaxa, esse você já conhece: era ele que você usava quando fazia derivação implícita lá em cálculo de uma variável.

Ele nos permite determinar a derivada de uma função definida implicitamente por uma equação, sem ter que explicitar essa função, até porque muitas vezes não dá pra fazer isso. Vamos ver como funciona.

Digamos que a gente tenha a equação

F x , y , z = x 2 + x y + cos ⁡ x - z 2 + ln ⁡ cos ⁡ z + x

E queremos saber se z está definido implicitamente por essa equação como uma função de x e y .

Temos então

X = x , y

Y = z

Mas, como vamos fazer isso se nesse caso não dá pra isolar o z e fazer aquele esquema de substituir na equação pra ver se dá zero?

É ai que o teorema da função implícita entra! Ele vai nos dizer se podemos definir as variáveis de Y em função das variáveis de X e, se for possível, vai nos dar também as derivadas de Y em função de X .

Parece bom, né? Então vamos ao teorema.

O Ministério da Saúde adverte: num primeiro olhar esse teorema parece assustador, mas analisando com carinho você verá que ele é só chato mesmo, mas não é difícil.

Bom, feitas as devidas advertências, vamos ao teorema de verdade agora:

Se ( X 0 , Y 0 ) é tal que

F X 0 , Y 0 = 0

F Y ( X 0 , Y 0 )

É inversível, então, numa vizinhança de X 0 existe uma função diferenciável

Y = g X

Que está definida implicitamente na equação F X , Y = 0 e

g ' X = - F Y X , g X - 1 . F X X , g X

WHAAAAAAAAAAAAT????

Respira fundo e fica calmo! Vou te explicar parte por parte!

Se, ao substituir a expressão F ( X , Y ) num ponto qualquer ( X 0 , Y 0 ) , der zero e se a derivada parcial de F em relação a Y nesse ponto for uma matriz inversível, isto é, tiver determinante diferente de zero, então, ali perto de X 0 , Y = g ( X ) está definido implicitamente na equação F X , Y = 0 (mesmo que a gente não saiba a expressão dessa função) e é uma função diferenciável. E mais, sua derivada é igual a menos o inverso da derivada de F em relação a Y vezes a derivada de F em relação a X .

Ufa! Dá uma segunda liga nisso pra fixar melhor.

Agora deixa eu te mostrar direitinho o que é F Y , F X e g ' ( X ) .

A primeiro coisa é lembrar que Y são as funções definidas implicitamete, e X são as variáveis.

Agora, o que diabos é F Y ? Ele vai ser essa matriz aqui:

F Y X , Y = ∂ f 1 ∂ y 1 … ∂ f 1 ∂ y m ∂ f 2 ∂ y 1 … ∂ f 2 ∂ y m ⋮ ∂ f m ∂ y 1 ⋮ … ⋮ ∂ f m ∂ y m

Onde cada uma dessas f 1 , f 2 são as compoenentes da função F e cada um desses y são as coordenadas que queremos ver se é uma função.

No nosso exemplo, já vimos ali em cima que Y = z .

Além disso, nossa função F x , y , z = x 2 + x y + cos ⁡ x - z 2 + ln ⁡ z + x só tem uma componente f 1 . Então, essa parada fica:

F Y X , Y = ∂ f 1 ∂ z = ∂ x 2 + x y + cos ⁡ x - z 2 + ln ⁡ cos ⁡ z + x ∂ z = - 2 z + 1 z + x

Sacou a ideia?

Isso vai ser o jacobiano de F em relação as componentes do vetor Y , beleza?

Depois temos que ver se o determinante dessa matriz jacobiana é diferente de zero, para sabermos se ela é inversível.

Mas, pra isso, devemos olhar em um ponto ( X 0 , Y 0 ) específico, então vamos fazer a conta para o ponto

X 0 , Y 0 = x 0 , y 0 , z 0 = 1,1 , 1

Tá, calculando nesse ponto então

D e t F Y X 0 , Y 0 = - 2 ∙ 1 + 1 1 + 1 = - 2 + 1 2 = - 3 2 ≠ 0

Como esse determinante deu diferente de 0 podemos dizer que, com aquela equação do exemplo podemos definir implicitamente z em função de x e y perto, mas bem pertiiiinho mesmo do ponto 1,1 , 1 .

Isso não quer dizer que conseguimos escrever z em função de x e y , mas pelo menos agora a gente sabe que a função está ali, implícita, mas está, ou seja

Y = z = g X = g ( x , y )

O teorema permite também que a gente calcule g ' ( X ) , que nesse caso, são as derivadas de z em função de x e de y .

Para isso temos que achar agora a matriz jacobiana F X X , Y , que vai ser

F X X , Y = ∂ f 1 ∂ x 1 … ∂ f 1 ∂ x n ∂ f 2 ∂ x 1 … ∂ f 2 ∂ x n ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ⋮ … ⋮ ∂ f m ∂ x n

Onde cada uma dessas f 1 , f 2 são as compoenentes da função F e cada um desses x são as as variáveis da nossa função definida implicitamente.

Ainda no nosso exemplo, temos

F X X , Y = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ⇒ F X X , Y = 2 x + y - sen ⁡ x + 1 z + x x

Vamos trocar os valores de x , y e z no ponto 1,1 , 1

F X X , Y = 2 ∙ 1 + 1 - sen ⁡ 1 + 1 1 + 1 1 = 7 2 - sen ⁡ 1 1

Finalmente, a derivada da nossa função implícita vai ser representada por g ' X , e a fórmula que o teorema nos dá para calcular essa derivada é

g ' X = - F Y X , Y - 1 . F X X , Y

Assim, no nosso exemplo, para o ponto X = 1,1 , temos

g ' 1,1 = ∂ z ∂ x 1,1 ∂ z ∂ y 1,1 = - - 3 2 - 1 ∙ 7 2 - sen ⁡ 1 1

∂ z ∂ x 1,1 ∂ z ∂ y 1,1 = 2 3 ∙ 7 2 - sen ⁡ 1 1 = 7 3 - 2 3 sen ⁡ 1 2 3

Então, temos que

∂ z ∂ x 1,1 = 7 3 - 2 3 sen ⁡ 1

∂ z ∂ y 1,1 = 2 3

Vamos dar uma revisada no passo a passo para entender como fazer essa paradinha direito.

  • Primeiro precisamos achar a nossa função
  • F x , y , z = 0 , … , 0

    Com quantas componentes forem necessárias.

  • Depois identificamos Y , que são as funções definidas implicitamete, e X que são as variáveis.
  • Fazemos a seguinte matriz

F Y X , Y = ∂ f 1 ∂ y 1 … ∂ f 1 ∂ y m ∂ f 2 ∂ y 1 … ∂ f 2 ∂ y m ⋮ ∂ f m ∂ y 1 ⋮ … ⋮ ∂ f m ∂ y m

E fazemos, para essa matriz

D e t F Y X , Y ≠ 0

No ponto ( X 0 , Y 0 ) , garantindo que as variáveis de Y podem ser definida implicitamente em função de X , ali pertinho desse ponto.

OBS: uma boa dica é que o número de variáveis de Y é sempre igual ao número de funções componentes de F x , y , z , ou seja, o número de funções ddefinidas implicitamente deve ser igual ao número de equações dadas no problema.

  • Fazemos a outra matriz
  • F X X , Y = ∂ f 1 ∂ x 1 … ∂ f 1 ∂ x n ∂ f 2 ∂ x 1 … ∂ f 2 ∂ x n ⋮ ∂ f m ∂ x 1 ⋮ … ⋮ ∂ f m ∂ x n

  • Achamos as derivadas de Y em função de X

g ' X = ∂ y 1 ∂ x 1 … ∂ y 2 ∂ x n ∂ y 2 ∂ x 1 … ∂ y 2 ∂ x n ⋮ ∂ y m ∂ x 1 ⋮ … ⋮ ∂ y m ∂ x n = - F Y X , Y - 1 × F X X , Y