Teorema da Função Implícita
Produzido por Bruno NeresTeoria
“Ah não, mais um teorema!?”
Relaxa, esse você já conhece: era ele que você usava quando fazia derivação implícita lá em cálculo de uma variável.
Ele nos permite determinar a derivada de uma função definida implicitamente por uma equação, sem ter que explicitar essa função, até porque muitas vezes não dá pra fazer isso. Vamos ver como funciona.
Digamos que a gente tenha a equação
E queremos saber se está definido implicitamente por essa equação como uma função de e .
Temos então
Mas, como vamos fazer isso se nesse caso não dá pra isolar o e fazer aquele esquema de substituir na equação pra ver se dá zero?
É ai que o teorema da função implícita entra! Ele vai nos dizer se podemos definir as variáveis de em função das variáveis de e, se for possível, vai nos dar também as derivadas de em função de .
Parece bom, né? Então vamos ao teorema.
O Ministério da Saúde adverte: num primeiro olhar esse teorema parece assustador, mas analisando com carinho você verá que ele é só chato mesmo, mas não é difícil.
Bom, feitas as devidas advertências, vamos ao teorema de verdade agora:
Se é tal que
É inversível, então, numa vizinhança de existe uma função diferenciável
Que está definida implicitamente na equação e
WHAAAAAAAAAAAAT????
Respira fundo e fica calmo! Vou te explicar parte por parte!
Se, ao substituir a expressão num ponto qualquer , der zero e se a derivada parcial de em relação a nesse ponto for uma matriz inversível, isto é, tiver determinante diferente de zero, então, ali perto de , está definido implicitamente na equação (mesmo que a gente não saiba a expressão dessa função) e é uma função diferenciável. E mais, sua derivada é igual a menos o inverso da derivada de em relação a vezes a derivada de em relação a .
Ufa! Dá uma segunda liga nisso pra fixar melhor.
Agora deixa eu te mostrar direitinho o que é , e .
A primeiro coisa é lembrar que são as funções definidas implicitamete, e são as variáveis.
Agora, o que diabos é ? Ele vai ser essa matriz aqui:
Onde cada uma dessas , são as compoenentes da função e cada um desses são as coordenadas que queremos ver se é uma função.
No nosso exemplo, já vimos ali em cima que .
Além disso, nossa função só tem uma componente . Então, essa parada fica:
Sacou a ideia?
Isso vai ser o jacobiano de em relação as componentes do vetor , beleza?
Depois temos que ver se o determinante dessa matriz jacobiana é diferente de zero, para sabermos se ela é inversível.
Mas, pra isso, devemos olhar em um ponto específico, então vamos fazer a conta para o ponto
Tá, calculando nesse ponto então
Como esse determinante deu diferente de podemos dizer que, com aquela equação do exemplo podemos definir implicitamente em função de e perto, mas bem pertiiiinho mesmo do ponto .
Isso não quer dizer que conseguimos escrever em função de e , mas pelo menos agora a gente sabe que a função está ali, implícita, mas está, ou seja
O teorema permite também que a gente calcule , que nesse caso, são as derivadas de em função de e de .
Para isso temos que achar agora a matriz jacobiana , que vai ser
Onde cada uma dessas , são as compoenentes da função e cada um desses são as as variáveis da nossa função definida implicitamente.
Ainda no nosso exemplo, temos
Vamos trocar os valores de , e no ponto
Finalmente, a derivada da nossa função implícita vai ser representada por , e a fórmula que o teorema nos dá para calcular essa derivada é
Assim, no nosso exemplo, para o ponto , temos
Então, temos que
Vamos dar uma revisada no passo a passo para entender como fazer essa paradinha direito.
- Primeiro precisamos achar a nossa função
- Depois identificamos , que são as funções definidas implicitamete, e que são as variáveis.
- Fazemos a seguinte matriz
Com quantas componentes forem necessárias.
E fazemos, para essa matriz
No ponto , garantindo que as variáveis de podem ser definida implicitamente em função de , ali pertinho desse ponto.
OBS: uma boa dica é que o número de variáveis de é sempre igual ao número de funções componentes de , ou seja, o número de funções ddefinidas implicitamente deve ser igual ao número de equações dadas no problema.
- Fazemos a outra matriz
- Achamos as derivadas de em função de