Teorema da Função Implícita
Teoria
“Ah não, mais um teorema!?”
Relaxa, esse você já conhece: era ele que você usava quando fazia derivação implícita lá em cálculo de uma variável.
Ele nos permite determinar a derivada de uma função definida implicitamente por uma equação, sem ter que explicitar essa função, até porque muitas vezes não dá pra fazer isso. Vamos ver como funciona.
Digamos que a gente tenha a equação
E queremos saber se está definido implicitamente por essa equação como uma função de e .
Temos então
Mas, como vamos fazer isso se nesse caso não dá pra isolar o e fazer aquele esquema de substituir na equação pra ver se dá zero?
É ai que o teorema da função implícita entra! Ele vai nos dizer se podemos definir as variáveis de em função das variáveis de e, se for possível, vai nos dar também as derivadas de em função de .
Parece bom, né? Então vamos ao teorema.
O Ministério da Saúde adverte: num primeiro olhar esse teorema parece assustador, mas analisando com carinho você verá que ele é só chato mesmo, mas não é difícil.
Bom, feitas as devidas advertências, vamos ao teorema de verdade agora:
Se é tal que
É inversível, então, numa vizinhança de existe uma função diferenciável
Que está definida implicitamente na equação e
WHAAAAAAAAAAAAT????
Respira fundo e fica calmo! Vou te explicar parte por parte!
Se, ao substituir a expressão num ponto qualquer , der zero e se a derivada parcial de em relação a nesse ponto for uma matriz inversível, isto é, tiver determinante diferente de zero, então, ali perto de , está definido implicitamente na equação (mesmo que a gente não saiba a expressão dessa função) e é uma função diferenciável. E mais, sua derivada é igual a menos o inverso da derivada de em relação a vezes a derivada de em relação a .
Ufa! Dá uma segunda liga nisso pra fixar melhor.
Agora deixa eu te mostrar direitinho o que é , e .
A primeiro coisa é lembrar que são as funções definidas implicitamete, e são as variáveis.
Agora, o que diabos é ? Ele vai ser essa matriz aqui:
Onde cada uma dessas , são as compoenentes da função e cada um desses são as coordenadas que queremos ver se é uma função.
No nosso exemplo, já vimos ali em cima que .
Além disso, nossa função só tem uma componente . Então, essa parada fica:
Sacou a ideia?
Isso vai ser o jacobiano de em relação as componentes do vetor , beleza?
Depois temos que ver se o determinante dessa matriz jacobiana é diferente de zero, para sabermos se ela é inversível.
Mas, pra isso, devemos olhar em um ponto específico, então vamos fazer a conta para o ponto
Tá, calculando nesse ponto então
Como esse determinante deu diferente de podemos dizer que, com aquela equação do exemplo podemos definir implicitamente em função de e perto, mas bem pertiiiinho mesmo do ponto .
Isso não quer dizer que conseguimos escrever em função de e , mas pelo menos agora a gente sabe que a função está ali, implícita, mas está, ou seja
O teorema permite também que a gente calcule , que nesse caso, são as derivadas de em função de e de .
Para isso temos que achar agora a matriz jacobiana , que vai ser
Onde cada uma dessas , são as compoenentes da função e cada um desses são as as variáveis da nossa função definida implicitamente.
Ainda no nosso exemplo, temos
Vamos trocar os valores de , e no ponto
Finalmente, a derivada da nossa função implícita vai ser representada por , e a fórmula que o teorema nos dá para calcular essa derivada é
Assim, no nosso exemplo, para o ponto , temos
Então, temos que
Vamos dar uma revisada no passo a passo para entender como fazer essa paradinha direito.
- Primeiro precisamos achar a nossa função
- Depois identificamos , que são as funções definidas implicitamete, e que são as variáveis.
- Fazemos a seguinte matriz
Com quantas componentes forem necessárias.
E fazemos, para essa matriz
No ponto , garantindo que as variáveis de podem ser definida implicitamente em função de , ali pertinho desse ponto.
OBS: uma boa dica é que o número de variáveis de é sempre igual ao número de funções componentes de , ou seja, o número de funções ddefinidas implicitamente deve ser igual ao número de equações dadas no problema.
- Fazemos a outra matriz
- Achamos as derivadas de em função de
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 12, questão 5.
Mostre que a equação
Define implicitamente uma função de classe cujo gráfico está na vizinhança do ponto .
Expresse e .
Passo 1
Vamos lá a primeira coisa a fazer é identificar quem é o vetor e quem é o vetor .
Como ele quer tudo em função de e
O resto vai ser do vetor
Assim também temos e
Vamos identificar também nosso , jogando tudo pra um lado só na equação do problema:
Passo 2
Agora descobrir se esse ponto que ele deu serve a equação né?
Beleza, ele serve porque !
Passo 3
Para vermos se a equação define implicitamente precisamos achar primeiro , ele vai ser o Jacobiano com as derivadas em relação a z porque é
Passo 4
Agora temos que ver se no ponto
Show! Como ele é diferente de podemos definir em função de e .
Passo 5
Agora para encontrar a derivada de temos que a fórmula da derivada é
Então, primeiro temos que fazer
Agora, substituímos no ponto:
Passo 6
Agora, vamos calcular a inversa de
Substituindo no ponto:
Passo 7
Agora é só substituir tudo na formula da derivada
Resposta
Exercício Resolvido #2
UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 12, questão 1.
Verifique as hipóteses do teorema da função implícita no ponto e calcule e para
Passo 1
Vamos lá a primeira coisa a fazer é identificar quem é o vetor e quem é o vetor .
Como ele quer em função de
O resto vai ser do vetor
Assim também temos e
Vamos identificar também nosso :
Passo 2
Agora descobrir se esse ponto que ele deu serve a equação né?
Beleza, ele serve porque !
Passo 3
Para vermos se a equação define implicitamente precisamos achar primeiro , ele vai ser o Jacobiano com as derivadas em relação a porque é
Passo 4
Agora temos que ver se no ponto
Show! Como ele é diferente de podemos definir em função de.
Pronto, verificamos as hipóteses do teorema da função inversa.
Passo 5
Agora para encontrar as derivadas de temos que a fórmula da derivada é
Então, primeiro temos que fazer
Agora, substituímos no ponto:
Passo 6
Agora, vamos calcular a inversa de
Substituindo no ponto:
Passo 7
Agora é só substituir tudo na formula da derivada
Substituindo no ponto:
Passo 8
Para achar vamos derivar novamente a expressão de
Substituindo no ponto:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.314. questão 6.
Encontre os pontos da lemniscata de equação
Em que as retas tangentes são horizontais.
Passo 1
Temos
E
Para achar os pontos onde as retas tangentes são horizontais, devemos primeiro achar a derivada de em relação a , para depois igualar isso a zero. Certo?
Passo 2
Para encontrar as derivadas de temos que a fórmula da derivada é
Então, primeiro temos que fazer
Passo 3
Agora vamos calcular
Passo 4
Agora, vamos calcular a inversa de
Passo 5
Agora é só substituir tudo na formula da derivada
Passo 6
A reta tangente é horizontal nos pontos em que
Então
Isso
Resposta
Escrever só a resposta aqui quando o problema tiver resposta
Exercício Resolvido #4
Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.323. questão 1.
É possível “resolver” o sistema de equações
Para e próximo de ?
Calcule em .
Passo 1
O que ele quer saber é se esse sistema de equações define e como funções de nas vizinhanças de ..
Vamos usar o teorema da função implícita. Então
Passo 2
Agora descobrir se esse ponto que ele deu serve ao sistema de equações
Beleza, ele serve porque !
Passo 3
Para vermos se a equação define implicitamente precisamos achar primeiro , ele vai ser o Jacobiano com as derivadas em relação a porque é
Passo 4
Agora temos que ver se no ponto
Beleza, deu diferente de zero, então essa matriz é inversivel e é possível resolver o sistema para e próximo de
Passo 5
Agora, pra calcular a derivada, como ele só quer , vamos usar a derivação implícita pra facilitar as nossas vidas!
Se fossemos usar o teorema inteiro, a gente ia calcular essa derivada também, mas além dela calcularíamos as derivadas de e em relação não só a , mas também a e . Ou seja, varias trabalhos desnecessários.
Com a derivação implícita, a gente deriva cada equação em relação a considerando que e são funções de :
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas .
Se isolarmos na primeira equação e substituirmos na segunda, depois de resolver essas contas gigantes e substituir o ponto , encontraremos
Resposta
Exercício Resolvido #5
UFF, Cálculo 2B, Parte 14, exemplo 14.3.4
Considere as equações
Suponha que , , são funções diferenciáveis de , e que estão implícitas nas equações acima. Determine , e derivando implicitamente as equações acima com respeito a .
Passo 1
Vamos lá, como o problema mesmo diz, vamos derivar implicitamente as equações acima com respeito a , considerando que , , são funções de :
Temos um sistema com 3 equações e 3 incognitas.
Passo 2
Resolvendo o sistema:
Isolando na primeira equação:
Substituindo na segunda equação e isolando :
Assim:
Substituindo tudo isso na terceira equação:
Passo 3
E, fazendo milhões de contas, chegamos em:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)