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Obtenção da Função Vetorial Inversa

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Teoria

Obtenção da função inversa

Agora que você já sabe o que é uma função inversa e quando uma função tem inversa, vou te dizer como a gente encontra a tal da função inversa.

Lembra que eu falei que o domínio da função inversa é a imagem Y da função original e a imagem da função inversa é o domínio X da função original?

D o m F = I m F - 1

I m F = D o m ( F - 1 )

Então, se na função original a gente tem um vetor Y em função de um vetor X , na função inversa a gente vai ter um vetor X escrito em função do vetor Y :

F X = Y

F - 1 Y = X

Faz sentido pra você isso?

Olha esse exemplo:

f x = y = x 2

f - 1 y = x = ± y

Ou seja, a gente tinha o y escrito em função de x e na inversa, passamos a ter o x escrito em função de y .

Tá, beleza, mas e se eu tiver uma função vetorial de várias variáveis?

É a mesma coisa, só que você vai ter que fazer isso para cada uma das componentes da função vetorial.

Se liga:

F X = F x , y , z = sen ⁡ y ,   e x ,   z 3 = u , v , w = Y

Temos um vetor

Y = u , v , w = ( sen ⁡ y ,   e x , z 3 )

escrito em função de um vetor

X = ( x , y , z ) .

Se quisermos encontrar a inversa dessa função, temos que escrever cada componenete do vetor X como uma função do vetor Y :

u = sen ⁡ y

y = a r c s e n   u

v = e x

x = ln ⁡ v

E

w = z 3

z = w 3

Então

F X = F x , y , z = sen ⁡ y ,   e x ,   z 3 = u , v , w = Y

F - 1 Y = F - 1 u , v , w = a r c s e n   u , ln ⁡ v , w 3 = x , y , z = X  

Tranquilo?

Mas e a função afim, lembra dela?

A inversa da função afim

T X = A . X - X 0 + Y 0

É dada por

T - 1 Y = A - 1 Y - Y 0 + X 0

Repara que a gente fez a mesma coisa:

Tínhamos o Y escrito em função de X e então escrevemos o X em função de Y .

Vou te mostrar um exemplo:

T X = T x , y = 2 0 1 4 x + 1 y - 2   + 5 6 = u v = Y

Temos

Y = u v

Y 0 = 5 6

X 0 = - 1 2

A = 2 0 1 4

A - 1 = 2 0 1 4 - 1 = 1 2 0 - 1 8 1 4

WTF?? De onde saiu isso?

Calculei a inversa dessa matriz A da forma como a gente aprende em Álgebra Linear. Dá um relembrada nisso lá!

Assim, a inversa da nossa função afim fica:

T - 1 Y = T - 1 u , v = 1 2 0 - 1 8 1 4 u - 5 v - 6   + - 1 2 = x y = X

Beleza?

Vamos fazer uns exercícios então.

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

UFF, Cálculo 2B, Listas, Lista 11, questão 3, item a.

Considere a função T : R 3 → R ³ definida por:

T x , y , z = 4 0 5 0 1 - 6 3 0 4 x - 1 y z - 1 + 1 5 2 = u v w

Sabendo que ela é inversível, determine T - 1 ( u , v , w ) .

Passo 1

Bem, o que a gente tem ai é uma função afim

T X = A . X - X 0 + Y 0

Onde

A = 4 0 5 0 1 - 6 3 0 4

X = x y z

X 0 = 1 0 1

Y 0 = 1 5 2

Para descobrir a inversa dela, precisamos fazer:

T - 1 Y = A - 1 Y - Y 0 + X 0

Passo 2

Vamos calcular A - 1 :

A - 1 = 4 0 5 0 1 - 6 3 0 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 → l 1 - l 3 1 0 1 0 1 - 6 3 0 4 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1

→ l 3 - 3 l 1 1 0 1 0 1 - 6 0 0 1 1 0 - 1 0 1 0 - 3 0 4 → l 1 - l 3 1 0 0 0 1 - 6 0 0 1 4 0 - 5 0 1 0 - 3 0 4

→ ( l 2 + 6 l 3 ) 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 0 - 5 - 18 1 24 - 3 0 4

Logo,

A - 1 = 4 0 - 5 - 18 1 24 - 3 0 4

Passo 3

Agora é só substituir na fórmula:

A - 1 = 4 0 - 5 - 18 1 24 - 3 0 4

X 0 = 1 0 1

Y 0 = 1 5 2

Y = u v w

T - 1 Y = A - 1 Y - Y 0 + X 0

T - 1 Y = 4 0 - 5 - 18 1 24 - 3 0 4 u - 1 v - 5 w - 2 + 1 0 1

Resposta

T - 1 Y = 4 0 - 5 - 18 1 24 - 3 0 4 u - 1 v - 5 w - 2 + 1 0 1

Exercício Resolvido #2

UFF, Cálculo 2B, Parte 13, exemplo 13.1.1, item b.

Seja

f : U = R 3 → f U = R ³

x , y , z → u , v , w = ( x , y 3 , z 5 )

Encontre explicitamente a inversa de f , que é uma função

f - 1 : f U = R 3 → U = R 3  

u , v , w → ( x , y , z )

Passo 1

Temos

F X = F x , y , z = x , y 3 , z 5 = u , v , w = Y

Temos um vetor

Y = u , v , w = x , y 3 , z 5

Escrito em função do vetor

X = ( x , y , z ) .

Se quisermos encontrar a inversa dessa função, temos que escrever cada componenete do vetor X como uma função do vetor Y :

Passo 2

Vamos lá:

u = x

x = u

E

v = y 3

y = v 3

E

w = z 5

z = w 5

Passo 3

Então

F X = F x , y , z = x , y 3 , z 5 = u , v , w = Y

F - 1 Y = F - 1 u , v , w = u , v 3 , w 5 = x , y , z = X  

Resposta

F - 1 u , v , w = u , v 3 , w 5