Obtenção da Função Vetorial Inversa

Produzido por Bruno Neres
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Teoria

Obtenção da função inversa

Agora que você já sabe o que é uma função inversa e quando uma função tem inversa, vou te dizer como a gente encontra a tal da função inversa.

Lembra que eu falei que o domínio da função inversa é a imagem Y da função original e a imagem da função inversa é o domínio X da função original?

D o m F = I m F - 1

I m F = D o m ( F - 1 )

Então, se na função original a gente tem um vetor Y em função de um vetor X , na função inversa a gente vai ter um vetor X escrito em função do vetor Y :

F X = Y

F - 1 Y = X

Faz sentido pra você isso?

Olha esse exemplo:

f x = y = x 2

f - 1 y = x = ± y

Ou seja, a gente tinha o y escrito em função de x e na inversa, passamos a ter o x escrito em função de y .

Tá, beleza, mas e se eu tiver uma função vetorial de várias variáveis?

É a mesma coisa, só que você vai ter que fazer isso para cada uma das componentes da função vetorial.

Se liga:

F X = F x , y , z = sen ⁡ y ,   e x ,   z 3 = u , v , w = Y

Temos um vetor

Y = u , v , w = ( sen ⁡ y ,   e x , z 3 )

escrito em função de um vetor

X = ( x , y , z ) .

Se quisermos encontrar a inversa dessa função, temos que escrever cada componenete do vetor X como uma função do vetor Y :

u = sen ⁡ y

y = a r c s e n   u

v = e x

x = ln ⁡ v

E

w = z 3

z = w 3

Então

F X = F x , y , z = sen ⁡ y ,   e x ,   z 3 = u , v , w = Y

F - 1 Y = F - 1 u , v , w = a r c s e n   u , ln ⁡ v , w 3 = x , y , z = X  

Tranquilo?

Mas e a função afim, lembra dela?

A inversa da função afim

T X = A . X - X 0 + Y 0

É dada por

T - 1 Y = A - 1 Y - Y 0 + X 0

Repara que a gente fez a mesma coisa:

Tínhamos o Y escrito em função de X e então escrevemos o X em função de Y .

Vou te mostrar um exemplo:

T X = T x , y = 2 0 1 4 x + 1 y - 2   + 5 6 = u v = Y

Temos

Y = u v

Y 0 = 5 6

X 0 = - 1 2

A = 2 0 1 4

A - 1 = 2 0 1 4 - 1 = 1 2 0 - 1 8 1 4

WTF?? De onde saiu isso?

Calculei a inversa dessa matriz A da forma como a gente aprende em Álgebra Linear. Dá um relembrada nisso lá!

Assim, a inversa da nossa função afim fica:

T - 1 Y = T - 1 u , v = 1 2 0 - 1 8 1 4 u - 5 v - 6   + - 1 2 = x y = X

Beleza?

Vamos fazer uns exercícios então.