Exercícios de Teorema da Função Implícita - Lista de Exercícios Resolvida

É possível “resolver” o sistema de equações

Para e próximo de ?

Calcule em .

Mostre que a equação

Define implicitamente uma função de classe cujo gráfico está na vizinhança do ponto .

Expresse e .

Considere as equações

Suponha que , , são funções diferenciáveis de , e que estão implícitas nas equações acima. Determine , e derivando implicitamente as equações acima com respeito a .

Verifique as hipóteses do teorema da função implícita no ponto e calcule e para

Encontre os pontos da lemniscata de equação

Em que as retas tangentes são horizontais.

Considere

É possível, pelo Teorema da Função Implícita, garantir que esta equação define implicitamente uma única função , com numa vizinhança de e numa vizinhança de , quando ?

As equações

Definem , e como funções de e próximo ao ponto , , ? Calcule as derivadas parciais e em

Suponha que e estão definidas implicitamente pelo sistema

Encontre todas as derivadas parciais de e em termos de ,, , e .

11. A função de classe , é dada pela equação ( é um real fixo), onde é da classe e . Verifique que

Se e são dadas implicitamente pelo sistema:

Mostre que:

Explique cuidadosamente porque a equação definie como função de em uma vizinhança do ponto . Determine a equação do plano tangente ao gráfico desta função naquele ponto.

Dado do sistema

1. Verifique que o sistema define implicitamente na vizinhança de e tal que
2. Determine
3. Determine a função afim que aproxima na vizinhança de
4. Calcule, aproximadamente,

Considere

É possível, pelo Teorema da Função Implícita, garantir que esta equação define implicitamente uma única função , com numa vizinhança de e numa vizinhança de , quando ?

Mostre que a equação define como função implícita de e numa vizinhança de . Calcule

Seja , e e seja um ponto que satisfaz a equação

Onde é uma função de classe

1. Indique que condições deve satisfazer a função de forma que a equação acima defina implicitamente, como função de e numa vizinhança de e mostre que

Onde , na vizinhança de

2. Calcule a equação do plano tangente À superfície descrita pela equação no ponto

Responda, justificando, se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:

Se denota o conjunto de pontos do espaço que satisfazem a equação

Então pertence a e os pontos de perto de podem-se escrever na forma , onde é uma função de classe e

Seja definida por

1. Faça um esboço das curvas de nível de associadas aos níveis , e .
2. Faça um esboço do gráfico de .
3. Mostre que pertence a curva de nível

De associada ao nível .

4. Mostre que e
5. Mostre que a curva de nível pode ser representada como o gráfico de uma função com .
6. Este exercício constitui um contraexemplo para o teorema da função implícita para ? Justifique cuidadosamente sua resposta.

12. Sabendo-se que a função define implicitamente uma função de classe cujo gráfico está na vizinhança do ponto determine a taxa de variação de no ponto , na direção e sentido do vetor .

Seja uma função real de classe tal que , 0. Suponha que a função real , de classe , é definida implicitamente pela equação , onde é uma constante não nula. Verifique que satisfaz a equação diferencial em derivadas parciais

Use o teorema da função implícita para verificar que é possível resolver o sistema

Para variáveis e como funções de perto do ponto e calcule

(2) Considere , definida em todo . Responda:

b) Considere a equação . O Teorema da Função Implícita se aplica à essa equação no ponto ?

Considere

É possível, pelo Teorema da Função Implícita, garantir que esta equação define implicitamente uma única função , com numa vizinhança de e numa vizinhança de , quando ?

1. Dada a relação

Podemos considerar a função . Encontre .