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Exercícios de Teorema da Função Inversa - Lista de Exercícios Resolvida

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Questão 1

Seja

f : U = R 3 → f U = R ³

x , y , z → u , v , w = ( x , y 3 , z 5 )

  1. Encontre explicitamente a inversa de f , que é uma função

    2. f - 1 : f U = R 3 → U = R 3  

    u , v , w → ( x , y , z )

  2. Encontre o jacobiano ∂ u , v , w ∂ x , y , z em qualquer ( x , y , z )
  3. Verifique que ∂ u , v , w ∂ x , y , z = 0 em qualquer ( x , 0 , z ) e em qualquer ( x , y , 0 )
  4. Os itens (b) e (c) contradizem o Teorema da Função Inversa? Explique.

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Questão 2

Seja

F x , y = ( e x + y , e x - y )

Com domínio U = R ² .

  1. Mostre que F admite inversa numa vizinhança de qualquer x , y ∈ R ²
  2. Determine F - 1 ' ( F - 1 , - 1 )

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Questão 3

3. Seja f : U = R 3 → f U = R 3 x , y , z → u , v , w = x , y 3 , z 5

a) Encontre explicitamente a inversa de f , que é uma função f - 1 :   f U = R 3 → U = R 3 u , v , w → x , y , z

b) Encontre o jacobiano ∂ u , v , w ∂ x , y , z em qualquer x , y , z

c) Verifique que ∂ u , v , w ∂ x , y , z = 0 em qualquer x , 0 , z e em qualquer x , y , 0

d) Os itens a )   e   c )   contradizem o Teorema da Função Inversa? Explique.

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Questão 4

Considere a função abaixo

f x = x 2 - 4 x + 3

  1. Restringindo o domínio da função ao conjunto { x ∈ R : x ≥ 3 } , determine a função inversa f - 1

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Questão 5

Deduza as fórmulas

cos ⁡ ( a r c s e n   x ) = 1 - x 2

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Questão 6

Nos exercícios 2 . a 5 . esboce o gráfico da função.

2 .   f ( x ) = l n ( | x - 4 | )

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Questão 7

Seja f x = 1 x - x 3 ,   x > 0

  1. Mostre que f tem inversa em 0 , ∞

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Questão 8

Seja f x = 1 x - x 3 ,   x > 0

  1. Calcule f - 1 ( 0 ) e f - 1 ' ( 0 )

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Questão 9

Nos exercícios 2 . a 5 . esboce o gráfico da funç��o.

5 .   g ( t ) = 1 2 - e - t

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Questão 10

Nos exercícios 2 . a 5 . esboce o gráfico da função.

3 .   f ( x ) = | l n ( | x + 1 | ) |

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Questão 11

Nos exercícios 2 . a 5 . esboce o gráfico da função.

4 .   F ( x ) = e | x + 2 |

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Questão 12

Deduza as fórmulas

arctan ⁡ x ' = 1 1 + x 2

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Questão 13

Deduza as fórmulas

arcsec ⁡ x - arccos ⁡ 1 x = 0

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Questão 14

6. Seja b um número real e considere a função f x = x + 5 x + b . Escolhendo o contradomínio de f de forma que ela possua inversa, então f - 1 x = f x para b igual a

  1. - 5
  2. - 1
  3. 0
  4. 1
  5. 5

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Questão 15

Seja F x , y = e x + y , e x - y com domínio U = R 2

  1. Mostre que F admite inversa numa vizinhança de qualquer x , y ∈ R 2
  2. Determine D F - 1 F - 1 , - 1

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Listas de Exercícios Resolvidos

Lista de Polinômio de Taylor para f(x,y)Lista de Wronskiano - Dependência e Independência LinearLista de Caso Vetorial no R³Lista de Caso AvançadoLista de Erro do Polinômio de Taylor para f(x)Lista de Caso Escalar R²Lista de Área de Superfícies de RevoluçãoLista de Limites Laterais e Existência do LimiteLista de Curvas de NívelLista de Área entre Curvas

Principais Conceitos de Cálculo

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