Teorema de Gauss
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Introdução
O Teorema de Gauss, também conhecido como Teorema da Divergência, relaciona uma integral tripla sobre um volume com uma integral de superfície sobre a sua fronteira, que chamamos de . Você vai perceber que esse teorema possui certa semelhança com os teoremas de Stokes e Green.
Para aprender a aplicar o Teorema de Gauss, você precisa ter dois conceitos em mente. Primeiro, temos que saber como orientar essa superfície que limita o sólido . Você já viu que uma superfície é orientada por um campo vetorial de vetores normais a ela, mas há dois possíveis, qual escolhemos? Para uma superfície que limita um sólido estar orientada positivamente, seu vetor normal deve sempre apontar para fora do sólido. Veja a figura abaixo:
A região está compreendida entre duas esferas de raios diferentes. Como você pode ver, sempre aponta para fora de .
Agora precisamos introduzir outro conceito: o divergente de um campo vetorial. Para isso, considere um campo que tenha derivadas parciais definidas no . Sendo assim, seu divergente é dado por:
Podemos obter essa expressão fazendo o produto escalar:
Onde é o operador de derivadas parciais:
Observação: Não confunda divergente com rotacional! O divergente é obtido por um produto escalar com o operador , o que resulta em um número, enquanto o rotacional é obtido por um produto vetorial, o que resulta em um vetor.
O Teorema de Gauss
Sendo uma superfície orientada positivamente, fronteira de uma região sólida e um campo vetorial que tenha derivadas parciais contínuas em , pelo Teorema de Gauss pode-se afirmar que:
Em outras palavras, esse teorema afirma que, nessas condições acima, o fluxo de pela superfície é igual à integral tripla do divergente desse campo em . Quando você cair, então, nessa integral tripla, precisará usar aqueles recursos que você já aprendeu para resolvê-la: mudanças esféricas, cilíndricas etc, então é uma boa dar uma revisada nisso!
Tudo bem, agora que já vimos o Teorema de Gauss, vamos entender um pouco mais da utilidade dele! Da mesma forma que usamos o Teorema de Stokes como uma forma de calcular integrais de linha mais complicadas, quanto temos que calcular uma integral de superfície complicada, o Teorema de Gauss pode ser uma forma mais simples de calculá-la!
Exemplo: Calcule o fluxo , onde e é a superfície do sólido limitado pelo cilindro e os planos e , com a normal apontando para fora da superfície.
Passo 1: Vamos fazer um gráfico dessa região
Como a região limitada por é fechada e está orientada positivamente, podemos aplicar o Teorema de Gauss, temos:
Passo 2: Calcular
Passo 3: Montar a integral
Onde .
Passo 4: Vamos fazer, agora, a substituição cilíndrica.
A região passa a ser descrita como , , e a integral passa a ser:
Passo 5: Resolver a integral