Alterações na Mudança de Variável
Produzido por Arthur Melo de AlmeidaTeoria
Deslocamentos nas mudanças
Galera, imaginem que a nossa região de integração é essa esfera aqui embaixo:
Primeiro, vamos tentar a substituição esférica normal:
Levando isso para a esfera:
Meio chata essa expressão, não é? Agora vamos tentar fazer essa substituição aqui:
Olha o que acontece:
Viu que a esfera voltou a ser uma expressão bonitinha? O que a gente fez foi mudar o centro das coordenadas esféricas para o centro da esfera . Assim, a distância dos pontos da esfera à (nova) origem passa a ser constante e a expressão dela passa a ser .
Mas como a gente fez isso? Somando as coordenadas do centro da esfera nas variáveis da mudança esférica. Basicamente, você tem que somar números a e que cancelem as constantes “soltas” nos termos quadráticos da equação. Resumindo, é o seguinte:
Para uma esfera do tipo
Geralmente, faremos a mudança
A esfera vai passar a ser escrita como . Pode fazer essa mudança para conferir.
Beleza, mas e o jacobiano? O que acontece com ele?
Lembra que o jacobiano é calculado por derivadas parciais dos termos da mudança? Bom, a derivada de uma constante não é zero? Então todos esses termos e vão desaparecer! Portanto: sempre que somamos ou substraímos constantes em uma mudança de variáveis o seu jacobiano não se altera. Logo:
Bom, já que falamos de coordenadas esféricas, vamos falar das coordenadas cilíndricas também. Seguindo o mesmo raciocínio, quando encontramos um cilindro deslocado da origem do tipo:
Nós podemos fazer a mudança cilíndrica:
Isso nos dá:
O jacobiano não se altera, novamente! Dessa forma, a distância dos pontos do cilindro ao eixo passa a ser constante e ele passa a ser descrito como .
Recapitulando: quando você encontrar regiões que pareçam perfeitas para a mudança esférica ou cillíndrica, porém não estejam centradas na origem, às vezes vale à pena fazer essas mudanças com centro deslocado. Mas muito cuidado: não é só porque você tem uma superfície deslocada que vai valer à pena fazer isso! Em geral, usamos esse artifício quando a região toda é centrada em algum eixo/ ponto.
Então, depois de fazer a mudança e encontrar os intervalos das variáveis, a questão vira qualquer outra questão de integrais triplas, não tem mistério!
Mudança de eixos
Aqui a gente vai ter uma situação desse tipo
Bom, já que é um cilindro, vamos usar coodenadas cilíndricas, certo:
Levando isso para e equação do cilindro:
Agora, nas equações dos planos:
Nossa, ficou tudo horrível, né? Mas porque?
Isso aconteceu porque as coordenadas cilíndricas são definidas com simetria em relação ao eixo , olha só:
Então, as superfícies que tem simetria nesse eixo tendem a ficar mais simples escritas nessas coordenadas. Mas, nosso cilindro do exemplo está “deitado” com simetria no eixo , por isso não conseguimos agrupar termos na mudança e a expressão dele ficou zoada.
Ah, então não tem o que fazer? Não usamos essa mudança? Claro que não, nós só vamos usar uma mudança cilíndrica diferente.
Vamos criar uma mudança cilíndrica que tenha simetria em ! Quando a simetria era em , repare que a única coordenada que não se altera é essa:
Então, a coordenada que não vai se alterar agora é a : É como se o eixo “virasse” o eixo . Então vamos ter
Pronto, essa é nossa mudança! Isso é um macete para você não se perder. O jacobiano não muda:
Vamos tentar fazer essa nova mudança nas nossas superfícies então:
Agora, nas equações dos planos:
A região é definida então por , e .
Muito mais simples, não?
Lembrando que, como definimos as coordenadas cilíndricas com simetria em , o raio é marcado a partir desse eixo e o ângulo é marcado ao redor dele (no plano ). É como se o fosse o novo !
Mudança com denominadores diferentes
Digamos que você precise calcular uma integral tripla no interior da região:
Isso é um cilindro de seção elíptica:
Bom, já que é um cilindro, vamos tentar coordenadas cilíndricas, não é?
Se você substituir na equação do cilindro vai ver que vai ficar horrível! Porque o cilindro não ficará bonitinho como estamos acostumados a ver. Porque isso? Porque ele não tem seção circular! Então, na mudança de variáveis os termos não vão se agrupar certinho, por causa daquele coeficiente em .
E se a gente desse um jeito de sumir com esse coeficiente? Olha o que acontece quando fazemos essa substituição aqui:
Levando para o cilindro:
Viu que o que adicionamos à mudança cancelou aquele coeficiente ? Aí a expressão do cilindro ficou beem melhor. É como se a gente tivesse “transformado” sua seção em circular.
Mas e o que acontece com o Jacobiano da mudança? Esse coeficiente vai para ele:
Esse tipo de mudança pode ser muito útil quando temos cilindros de seção elíptica, pois ele faz o raio passar a ser constante e simplifica muito as coisas! Claro que temos que fazer a mesma mudança em todas as superfícies que estiverem limitando a região. A partir daí, a questão vira uma questão qualquer de integral tripla.
Então, quando temos um cilindro do tipo:
Podemos pensar na mudança:
Vamos ver um outro caso agora. Quando temos um elipsoide do tipo:
Isso se parece muito com uma esfera, não é? Porém se tentarmos a substituição esférica, vamos encontrar uma expressão meio zoada que nem aconteceu com o cilindro. Isso porque, novamente, o raio da superfície não é constante.
Mas se a gente fizer uma substituição do tipo:
Os coeficientes do elipsoide vão “sumir” e vamos encontrar um constante.
Isso porque esses coeficientes que acrescentamos à mudança esférica vão cancelar os coeficientes do elipsoide, “transformando” ele na esfera . Lembrando que os coeficientes vão todos para o Jacobiano.
Show? Então, quando você encontrar um elipsoide pode pensar em fazer esse tipo de mudança esférica. O resto da questão fica o mesmo passo a passo de sempre!
Beleza? Vamos treinar isso aí!