Teoria

Fala aí, vamos falar de coordenadas esféricas? Vamos começar com a definição:

Definição de Coordenadas Esféricas

Estamos acostumados a escrever as coordenadas no por exemplo, fornecendo três valores , , e , que junto indicam um ponto para gente. Para definir um ponto em coordenadas esféricas vamos usar três letras gregas, uma delas indicando um comprimento, e duas delas indicando ângulos, olha essa imagem aqui:

Então temos:

  • representando a distância entre o ponto e a origem dos eixos (0,0,0).
  • é o ângulo formado no plano em relação ao eixo
  • é o ângulo formado no plano em relação ao eixo

Esse tipo de sistema de coordenadas é muito utilizados para calcular integrais triplas de regiões esféricas. Por exemplo, caso eu queria descrever a equação de uma esfera com raio , basta eu escrever a equação . Como não definimos valores para os ângulos podemos assumir que ambos variam de até :

Gerando o seguinte gráfico:

Agora se eu escrevo a equação º, independente de e de . Então eu gero o seguinte plano":

Então tá, já entendemos que podemos desenhar figuras no alterando os valores das nossas variáveis. Agora o que precisamos aprender, e o que cai na sua prova, é como podemos fazer a mudança de variáveis das coordenadas cartesianas para as coordenadas esféricas.

Mudança para coordenadas esféricas

Fazer essa mudança é um processo sempre parecido, mas que envolverá fazer muitas contas. Começaremos calculando o Jacobiano, que pode ser encontrado através das relações da seguinte figura:

Aqui com um pouco de geometria podemos escrever:

E com isso calcular o Jacobiano:

📢OBS: Caso você não saiba o que é Jacobiano, ou não saiba como calcular o Jacobiano, confere essa página onde explicamos TUDO sobre o Jacobiano: Matriz Jacobiana.

Nosso Jacobiano no nosso exemplo vale:

Esse resultado é valido para casos em que não temos coeficientes nas expressões de , e . O melhor jeito de entender como fazer a mudança de bases das coordenadas cartesianas para as coordenadas esféricas é através de um exemplo, então confere esse vídeo aqui que nossos experts preparam para você!

Exercício

Confere um exercício do nosso tópico de Mudança para Coordenadas Esféricas para você ter certeza que entendeu o conceito!

Mudança para coordenadas esféricas

Exercício

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