110. Seja f e g duas funções tais que para todo x em (-∞, +∞) , f'(x) = g(x) e g'(x) = -f(x) . Depois, suponha que f(0) = 0 e g(0) = 1 . Prove que

[f(x)]² + [g(x)]² = 1

Sugestão: considere as funções F e G onde F(x) = [f(x)]^2 e G(x) = [g(x)]^2 , e mostre que F´(x) = G´(x) para todo x

Passo 1

Quando olhamos para o enunciado parece algo muito difícil de conseguir se chegar, mas ao analisar com calma a sugestão bem como aplicar corretamente os conceitos de derivada e regras de derivação o problema se resolve rápido.

Passo 2

Uma sacada que podemos ter para resolver está questão seria escrever:

F x = f x 2 + g x 2 = 1  

Passo 3

Derivando a equação acima teremos:

F ´ x = 2 f x . f ´ x + 2 g x . g ´ x = 0

Como no enunciado foi informado que f ´ x = g x   e   g ´ x = f ( x ) , podemos substituir na equação acima e ficar :

F ´ x = 2 f x . g x + 2 g x . f x = 0

Assim, temos que F realmente é uma constante.

Passo 4

F 0 = f o 2 + g 0 2 = 0 + 1 = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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