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Enunciado

Cálculo Numérico - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 110

110. Seja f e g duas funções tais que para todo x em ( - ∞ ,   + ∞ ) , f ´ ( x )   =   g ( x ) e g ' x = - f ( x ) . Depois, suponha que f 0 = 0   e   g 0 = 1 . Prove que

[ f x ] 2 + [ g x ] 2 = 1

Sugestão: considere as funções F   e   G onde F ( x )   =   [ f x ] 2 e G ( x )   =   [ g x ] 2 , e mostre que F ´ x = G ´ x para todo x

Passo 1

Quando olhamos para o enunciado parece algo muito difícil de conseguir se chegar, mas ao analisar com calma a sugestão bem como aplicar corretamente os conceitos de derivada e regras de derivação o problema se resolve rápido.

Passo 2

Uma sacada que podemos ter para resolver está questão seria escrever:

F x = f x 2 + g x 2 = 1  

Passo 3

Derivando a equação acima teremos:

F ´ x = 2 f x . f ´ x + 2 g x . g ´ x = 0

Como no enunciado foi informado que f ´ x = g x   e   g ´ x = f ( x ) , podemos substituir na equação acima e ficar :

F ´ x = 2 f x . g x + 2 g x . f x = 0

Assim, temos que F realmente é uma constante.

Passo 4

F 0 = f o 2 + g 0 2 = 0 + 1 = 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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